Equazioni goniometriche – lo schema per risolverle facilmente

Uno degli argomenti che mette maggiormente in difficoltà gli studenti di tutti i licei sono le equazioni goniometriche. In questa lezione di trigonometria vedremo uno schema completo composto da teoria ed esercizi svolti.


Indice

Definizioni iniziali

Equazioni goniometriche elementari ( + esercizi)

Equazioni goniometriche riconducibili a elementari ( + esercizi)

… riconducibili con le formule trigoniometriche

Equazioni Goniometriche Lineari (Risolte con le Formule Parametriche oppure con il Metodo Grafico)

Equazioni Goniometriche Omogenee


Definizione

Si dice equazione goniometrica quella in cui l’incognita x compare come argomento di una o più funzioni trigonometriche. Vediamo subito un facile esempio di quali sono le equazioni goniometriche:

  • senx=1/2
  • senx+cosx=1
  • x cosx-1=0
  • x-tgx=0

Come puoi vedere la x compare proprio all’interno di seno, coseno, tangente e cotangente, per cui i metodi che abbiamo fino ad ora studiato per risolvere le equazioni e disequazioni vanno ampliati. Per risolvere le equazioni goniometriche è  necessario trovare quegli angoli che verificano l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione stessa.

Equazioni Elementari in seno e coseno, tangente e cotangente

Prima di partire con le espressioni goniometriche, si parte si tratta dalla forma base, la più semplice in assoluto. Le equazioni trigonometriche elementari si possono presentare in una delle seguenti forme:

  • senx=m
  • cosx=n
  • tgx=p
  • cotgx=q

Queste quattro che ti abbiamo elencato vengono dette equazioni goniometriche elementari. Analizziamo ora singolarmente i vari casi e per ciascuna vedremo i metodi di risoluzione. Ecco una tabella molto schematica che ti aiuterà a comprendere meglio l’argomento.

  • senx=m

Per risolvere questa equazione è necessario che -1<=m<=1 (cioè m deve essere compreso o uguale da -1 e +1). In maniera molto semplice l’esercizio ti chiede di trovare quell’angolo x il cui valore del seno è pari a m. Poiché i valori del seno si ripetono ogni 360 gradi, allora possiamo dire che la soluzione sarà valida per ogni 2kπ.

x=a+2kπ

  • cosx=n

Anche in questo caso per risolvere l’equazione goniometrica è necessario che -1<=n<=1 (cioè n deve essere compreso o uguale a -1 e +1).  In caso contrario l’equazione è impossibile. L’esercizio ci chiede di trovare il valore di quell’angolo il cui coseno è pari a n. Vale (per i 2kπ) quanto già detto con le equazioni con il seno.
x=a+2kπ

  • tgx=p

La condizione di esistenza, affinché l’equazione non sia impossibile, è che x deve essere diverso da 90° (cioè π/2 espresso in radianti). Per risolvere le equazioni elementari con la tangente è necessario trovare quell’angolo la cui tangente è pari a p. Poiché la tgx è una funzione periodica – cioè che si ripete – ogni 180°, allora il risultato sarà valido per ogni kπ.
x=a+kπ

  • cotgx=q

Deve valere la condizione x diverso da kπ. E’ necessario ora trovare quell’angolo x la cui cotangente è proprio q. Vale lo stesso discorso della periodicità della tangente, per cui anche le equazioni con la cotangente sono valide ogni kπ.
x=a+kπ

Esercizi sulle equazioni goniometriche elementari

Risolvere i seguenti esercizi:

equazioni-goniometriche-elementari-esercizi

Consigli per risolvere gli esercizi: ogni volta che ti trovi di fronte ad un’equazione goniometrica elementare, poniti la domanda: che angolo devo trovare affinché la funzione trigonometrica mi restituisca quel valore? Disegna (se necessario) la circonferenza goniometrica, oppure stampa le nostre tabelle sui valori di seno e coseno. E’ preferibile che tu li impari a memoria assieme a tangente e cotangente. Proviamo ora a risolverne altri 3…

esercizi-equazioni-goniometriche-elementari-esercizi

Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari

Alcune equazioni pur essendo non elementari, possono considerarsi riconducibili alla prima tipologia che abbiamo visto. A volte è sufficiente eseguire qualche passaggio algebrico, a volte se si presentano più funzioni goniometriche è possibile esprimerle attraverso una sola di esse (riguardati le relazioni generali della trigonometria), altre volte è possibile applicare le formule degli archi associati.

Chiariamo questo concetto con degli esercizi svolti:

equazioni-goniometriche-riconducibili-elementari

Come puoi vedere i primi passaggi sono determinanti. Avendo una funzione al quadrato, vuol dire che l’equazione non è elementare. Posso però applicare la regola della moltiplicazione di una somma per una differenza. Successivamente applicando la regola dell’annullamento del prodotto si arriva facilmente alla soluzione. Prova a guardare ora quest’altro esercizio svolto:

equazioni-goniometriche-secondo-grado-riconducibili

In quest’ultimo esempio i metodi di risoluzione erano due: noi abbiamo preso la strada più breve cioè usando la scomposizione del quadrato di binomio. In realtà si poteva scomporre quest’equazione trinomia con il metodo del delta che hai imparato con le equazioni di secondo grado. Questo esercizio svolto infatti altro non era che un’equazione goniometrica riconducibile a elementare di secondo grado. Per risolverla sono semplicemente necessarie opportune scomposizioni iniziali.

Riconducibili ad elementari con le formule goniometriche

Alcune equazioni goniometriche possono essere ridotte ad elementari, attraverso l’applicazione di opportune formule di addizione o sottrazione, oppure con le formule di duplicazione o bisezione, prostaferesi o Werner. Cerchiamo subito di chiarire questo concetto con 2 esempi:

equazioni-goniometriche-riconducibili-addizione

In questo primo esempio abbiamo semplicemente applicato la formula di addizione, risolto pochi facili passaggi algebrici per arrivare alle equazioni goniometriche elementari rapidamente e quindi alla soluzione. Niente di particolarmente complesso, per cui vediamo un altro esercizio svolto…

equazioni-goniometriche-prostaferesi

L’ultimo esempio fa parte delle equazioni goniometriche con le formule di Prostaferesi (se non le ricordi ecco un file doc per poterle rivedere). Solo così possiamo da moltiplicazione a somma con le funzioni trigonometriche e ottenere la soluzione.

Equazioni goniometriche lineari

Un equazione lineare in seno e coseno si presenta nella forma a senx + b cosx = c. Distinguiamo ora due casi:

  • c=0

allora conviene dividere tutta l’equazione per cosx ottenendo:

a senx/cosx + b cosx/cosx = 0
a tgx + b = 0
tgx=-b/a

ossia un’equazione elementare.

  • c diverso da zero

In questo caso ci sono due metodi di risoluzione altrettanto validi. Il primo consiste nel risolvere le equazioni goniometriche con le formule parametriche. E’ il metodo più veloce e semplice (se ricordi le formule) per cui te lo consigliamo. Ecco degli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche parametriche:

equazioni-goniometriche-formule-parametriche

Il secondo che ti stiamo presentare è il metodo grafico per le equazioni goniometriche lineari. Data l’equazione generica asenx+bcosx=c, possiamo porre  senx=X e cosx=Y. Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria (seno al quadrato più coseno al quadrato uguale a 1), possiamo scrivere il seguente sistema:

metodo-grafico-equazioni-goniometriche

Sostanzialmente le due figure che si generano l’equazione di una retta e di una circonferenza. Dalla loro intersezione, quindi risolvendo il sistema indicato (se non ricordi come fare riguardati la nostra lezione sui sistemi di equazioni), otterrai le soluzioni dell’equazione lineare. Vediamo un esempio:

equazioni-goniometiche-grafico
Equazioni goniometriche omogenee

Le equazioni che si presentano nella forma:

equazioni-goniometriche-omogenee

si dicono omogenee di 2 grado in seno e coseno, perché tutti i termini sono di secondo grado. Per risolvere le equazioni omogenee in trigonometria si divide tutto per il coseno al quadrato (supposto che cosx=0 non è una soluzione del sistema, cioè effettuate le dovute condizioni di esistenza). In questo modo si esprime tutto in funzione della tangente. Vediamo subito un esempio:

equazioni-trigonometriche-omogenee

La prima cosa da fare è chiederci: cosx=0 può essere una soluzione? Poiché per cosx=0, x=90°+2k180°, basta che vado ad inserire 90° nell’equazione. Se esce 0 allora anche la x che abbiamo verificato è una soluzione. Possiamo ora affrontare il calcolo:

equazioni-goniometriche-omogenee-esercizi

Sono perfettamente identiche le equazioni trigonometriche riconducibili ad omogenee. L’unica differenza è che dovrai ingegnarti all’inizio con alcuni passaggi algebrici per poterti ridurre alla condizione di equazione omogenea.

Per evitare di appesantire la lezione, ti invitiamo ora a fare soltanto degli esercizi (vai a questo PDF per esercitarti). Nella prossima lezione vedremo i sistemi di equazioni goniometriche.Ti ricordiamo infine che il nostro staff è a tua completa disposizione per darti chiarimenti non solo sulle equazioni goniometriche ma anche sugli esercizi che ti sono stati assegnati a scuola e che non riesci a risolvere a casa. CONTATTACI!

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