Relazioni fondamentali della goniometria – formule e regole

Nella lezione di oggi vedremo le relazioni fondamentali della goniometria da sapere. Ne vedremo non solo la spiegazione ma anche la dimostrazione con esempi ed esercizi svolti.

Le tre formule di trigonometria da sapere

Questa che vedi in elenco sono le tre relazioni fondamentali della trigonometria. Clicca sulla formula per andare alla nostra facile dimostrazione.

relazione-fondamentale-trigonometria

relazione-fondamentale-tangente

relazione-fondamentale-seno


Prima relazione fondamentale della trigonometria

La prima e più importante delle relazioni fondamentali della trigonometria parte da un concetto noto. Prendiamo infatti una circonferenza goniometrica, che abbia cioè raggio unitario e centro nell’origine O. Disegniamo su questa un angolo a. Tracciamo una linea verticale che va dal punto P all’asse delle x (ascisse): otteniamo così il punto P’ detto proiezione del punto P.

coseno-circonferenza-goniometrica

Guardando il disegno possiamo notare che abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo OPP’. Ricordiamo adesso che nel caso di triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora che dice:

“In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.”

Applicando questa facile definizione al triangolo OPP’ che abbiamo costruito, posso ricavare la formula:

relazioni-fondamentali-trigonometria

Sappiamo che OP’ = cosa, PP’ = sena,OP = 1 perché raggio della circonferenza goniometrica. Se questo importante passaggio non ti è chiaro o hai qualche dubbio riguarda la lezione su seno e coseno. Sostituendo otteniamo:

relazione-fondamentale-trigonometria
Relazione fondamentale della Trigonometria

Abbiamo in questo modo dato una facile dimostrazione della formula fondamentale della trigonometria. Questa sarà molto importante nella risoluzione di esercizi ed espressioni goniometriche perché ci permette di calcolare il seno e il coseno. Sfruttando infatti la formula inversa posso scrivere:

formule-fondamentali-trigonometria

Seconda relazione fondamentale della trigoniometria

Nella lezione sulla tangente di un angolo abbiamo imparato che la tangente è il rapporto tra seno e coseno di un angolo: tga=sena/cosa. Portandoci al primo membro il seno, ricaviamo la formula inversa:

relazioni-fondamentali-tangente

Terza relazione fondamentale della trigoniometria

Riprendendo la definizione di cotangente di un angolo possiamo scrivere che questa funzione trigonometrica è pari al rapporto tra coseno e seno. Ci ricaviamo il coseno da questa relazione ottenendo la formula inversa:

relazioni-fondamentali-trigonometria-cotangente

Le tre relazioni fondamentali della goniometria ci serviranno per trasformare tra loro le funzioni trigonometriche. Potremo cioè passare da seno a coseno, a tangente o a cotangente ogni volta che ne abbiamo bisogno. Per altri dubbi, chiarimenti o se vuoi una mano con i tuoi compiti a casa, non esitare a contattarci! Il nostro staff è a tua disposizione.

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