Misura degli angoli in radianti e gradi

Nella lezione di oggi parleremo della misura degli angoli. Vedremo come si misurano gli angoli e come trasformare gli angoli in radianti.


La misura degli angoli in gradi

La forma normale

Gli angoli in radianti

Tabella degli angoli in radianti

Metodi di conversione

Esercizi sulle trasformazioni


La misura degli angoli in gradi e nella forma normale

Il metodo più antico usato per la misura degli angoli è certamente il sistema sessagesimale, cioè quelli che comunemente chiamiamo gradi. Ma che cos’è un grado? Per definizione:

Il grado è la 360esima parte dell’angolo giro.

Da questa prima spiegazione possiamo introdurre il concetto della misura degli angoli in forma normale.

La forma normale

Possiamo cioè fare riferimento agli angoli in gradi, primi e secondi utilizzando così un sistema di sottomultipli che ci aiuteranno a descrivere anche le operazioni con gli angoli più piccoli.

I primi sono la sessantesima parte del grado.

I secondi sono la sessantesima parte dei primi.

Per fare una similitudine molto semplice possiamo dire che l’unità di misura degli angoli in gradi primi e secondi corrisponde alla suddivisione dell’ora in 60 minuti e ciascun minuto in 60 secondi.

La forma normale è quella più utilizzata per i programmi delle scuole elementari e medie. Nei programmi di matematica delle scuole superiori viene introdotto l’angolo in radianti, un concetto nuovo ma che permette spesso di ottenere delle espressioni molto semplificate.

Gli angoli in radianti

La prima domanda che si pone lo studente in difficoltà con la misura degli angoli è: cos’è il radiante? La definizione di radiante di wikipedia non è molto semplice:

Il radiante, che viene indicato rad, rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell’arco di circonferenza (L) tracciato dall’angolo (a) e la lunghezza del raggio (r) di tale circonferenza.

Vediamo di essere più chiari: su un foglio di carta disegniamo una circonferenza e un raggio generico, che chiamiamo r, che stacca dall’origine degli assi cartesiani un angolo generico a.

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Che cos’è l’angolo in radianti?

Poiché la lunghezza dell’arco si misura in metri e il raggio si misura in metri, attraverso la loro divisione si ottiene un numero puro, cioè senza una dimensione. Questo significa che mentre una lunghezza si misura in metri, il peso in chilogrammi, la velocità in metri al secondo, non esiste un’unità di misura degli angoli in radianti! Sentirai infatti spesso dire che gli angoli in radianti sono numeri adimensionali, proprio poiché non hanno un’unità di misura.

Tabella degli angoli in radianti

Vi mostriamo ora una tabella, che commenteremo, su quali sono gli angoli in radianti e vedremo poi più in generale come trasformare gli angoli in radianti.

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Angoli in radianti – tabella

Partendo dall’angolo nullo, cioè 0 in gradi, notiamo che la lunghezza dell’arco che si forma nella circonferenza è nullo. Per cui la divisione per ottenere i radianti sarebbe 0 diviso il raggio: il risultato è sempre 0. Quindi 0 gradi corrispondono a 0 radianti.

Essendo la misura della circonferenza pari a 2πr (2 pi-greco per raggio), vuol dire che l’angolo in radianti sarà pari all’arco cioè 2πr diviso r che fa proprio 2π. Quindi 360°=2π

Un valido trucchetto per ricordare gli angoli in radianti è pensare che 1π=180° e poi da qui fare i multipli e sottomultipli. Ad esempio visto che 30° è la sesta parte di 180°, basta fare 1π diviso 6. Cioè verrà un sesto pi-greco o pi-greco sesti come vedi nella tabella sugli angoli in radianti.

Come trasformare gli angoli in radianti

I libri in genere suggeriscono una formula che parte dalla misura dell’angolo giro, cioè dai 360°. Noi ti consigliamo un metodo più semplice che parte proprio dal trucco che ti abbiamo suggerito: ricordati che 1 pi-greco vale 180° e fai la proporzione:

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Formula per trasformare i gradi in radianti

L’angolo in radianti da calcolare sta all’angolo in gradi da trasformare come 1 pi-greco sta a 180°.

Facciamo un esempio: convertire 80° da gradi in radianti.

esempio-angoli-in-radianti

Come trasformare gli angoli in gradi

Per fare l’operazione inversa, cioè per convertire gli angoli in radianti in gradi sessagesimali si parte sempre dalla stessa proporzione ma stavolta il nostro obiettivo è calcolare i gradi.

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Formula per convertire gli angoli in gradi

Facciamo un esempio: convertire 4/9 pi-greco in gradi.

esempio-angoli-in-gradi

Esercizi sulle conversione della misura degli angoli

Partendo dalle misure degli angoli in gradi, trasformare tutto in radianti:

35°= ??

45°= ??

120°=??

Per verificare se i risultati sono corretti puoi trasformare gli angoli in radianti calcolati in gradi e vedere se ti trovi lo stesso valore datoti nella traccia. Sarà un modo per esercitarti a trasformare i radianti in gradi.

Se hai bisogno di chiarimenti, per problemi o dubbi sulla lezione o sugli esercizi, se vuoi chiederci informazioni o supporto, contattaci. Il nostro staff è a tua disposizione.

2 thoughts on “Misura degli angoli in radianti e gradi”

  1. “Essendo la misura della circonferenza pari a 2πr (2 pi-greco per raggio), vuol dire che l’angolo in radianti sarà pari all’arco cioè 2πr diviso π che fa proprio 2π. Quindi 360°=2π ”
    avete errato “r” con “pi-greco” nel rapporto “2 pi-greco/r”.
    Saluti.
    FB

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