Seno e coseno – definizione e tabella dei valori

Uno studente si trova spesso a dover utilizzare il seno e il coseno di un angolo, sia durante le ore di matematica, in particolare quando si studia la trigonometria, che in fisica, per lo studio del piano inclinato e della suddivisione delle forze.

In questa lezione cercheremo di dare una spiegazione semplice e chiara su cosa sono il seno e il coseno di un angolo. Ecco cosa vedremo oggi:

Che cos’è il coseno di un angolo?

Che cos’è il seno di un angolo?

Tabella valori seno e coseno

Esercizi svolti

Esercizi da risolvere


Il coseno di un angolo

Per capire cos’è il coseno di un angolo dobbiamo fare riferimento alla circonferenza goniometrica. Prendiamo un angolo a  sulla nostra circonferenza tracciano una linea dall’origine. Dove la linea interseca la circonferenza segniamo un punto che possiamo chiamare P.

definizione-di-coseno-di-un-angolo

Tracciamo una linea verticale che va dal punto P all’asse delle x (ascisse): otteniamo così il punto P’ detto proiezione del punto P.

coseno-circonferenza-goniometrica

Guardando il disegno possiamo notare che abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo OPP’:

Il coseno dell’angolo a è dato dal rapporto tra i segmenti OP’, cateto sull’asse delle x, e OP, ipotenusa del triangolo e raggio della circonferenza.

coseno-trigonometria

Notiamo che OP è il raggio della circonferenza goniometrica quindi risulta pari ad 1 e così otteniamo:

formula-coseno

Quindi cosa=OP’. Possiamo quindi dare una definizione del coseno:

si definisce il coseno prendendo una circonferenza di raggio unitario e una semiretta uscente dall’origine che forma un angolo x con l’asse delle ascisse. Il coseno dell’angolo x è quindi definito come il valore della coordinata x del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza.

Vuoi un suggerimento facile, un trucchetto per ricordare cos’ è il coseno? Tieni presente che è sempre il segmento ORIZZONTALE (sull’asse delle x).

Il seno di un angolo

Considerando lo stesso triangolo per il seno e coseno:

seno-di-un-angolo-definizione

Il seno dell’angolo in trigonometria è dato dal rapporto fra il segmento PP’, cateto sull’asse delle y, e OP, ipotenusa del triangolo e raggio della circonferenza.

Anche in questo caso ricordiamo che il raggio della circonferenza goniometrica è pari ad 1, quindi: sena=P’P. Possiamo quindi dare la definizione del seno:

si definisce il seno di un angolo x a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall’origine che forma un angolo x con l’asse delle ascisse, il seno dell’angolo è quindi definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza.

Un trucchetto per ricordarsi cos’è il seno? Tenete presente che è sempre il segmento VERTICALE (sull’asse delle y).

Per calcolare il seno e il coseno si utilizza una tabella dei valori che si riferisce ad alcuni angoli notevoli.

Tabella valori seno e coseno

Con dei valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, di prostaferesi, di Werner e di quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

seno-e-coseno-tabella-valori

Esercizi svolti su seno e coseno

Con l’aiuto della tabella dei valori di seno e coseno possiamo svolgere assieme i primi esercizi di trigonometria. Risolvere le seguenti espressioni.

esercizi-seno-e-coseno

Esercizi da risolvere

2cos(15°)+sen(60°)-cos(30°)

3sen(45°)-4cos(18°)

sen(90°)-cos(75°)-7cos(90°)

Nelle prossime lezioni vedremo, oltre a seno e coseno, anche cosa sono cotangente e tangente di un angolo e come si disegnano sulla circonferenza goniometrica. Per qualsiasi dubbio, il nostro staff resta a vostra completa disposizione: contattaci!

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