Equazione della retta implicita ed esplicita

Nella lezione di oggi vedremo come studiare l’equazione della retta, i tipi di formule a cui bisogna far riferimento e i parametri da ricordare per svolgere correttamente gli esercizi sulla retta.


Prima di parlare dell’equazione della retta, riepiloghiamo molto brevemente quanto visto fino ad ora. Abbiamo imparato, nelle scorse lezioni, a calcolare la distanza tra due punti, cioè la lunghezza di un segmento. Abbiamo definito quest’ultimo come quella parte della retta compresa tra due punti detti estremi.

Definizione di retta

Ma che cos’è la retta? E come possiamo studiarla sul sistema di assi cartesiani? Dalla definizione che si dà nella geometria elementare, sappiamo che:

La retta è un insieme infinito di infiniti punti allineati

Questo significa che quando disegneremo l’equazione della retta generica dovremo ricordarci di prolungare il disegno nelle due direzioni, dato che la retta non ha una fine.

La retta può essere rappresentata nel piano cartesiano con due diverse forme che la descrivono pienamente e ci permettono di risolvere anche gli esercizi più complessi. Stiamo parlando dell’equazione della retta implicita e della forma esplicita.

Equazione della retta implicita

ax+by+c=0

Abbiamo già studiato nel programma di algebra cosa sono e come risolvere le equazioni di primo grado. Un’equazione di primo grado in geometria analitica non è altro che l’equazione generica della retta.

Possiamo distinguere a questo punto 3 casi a seconda dei coefficienti a, b e c.

  • Se a=0, l’equazione della retta implicita diventa:
    bx+c=0\to x=-\frac{c}{b}
  • Quando quindi sono in presenza di una formula con y=numero vuol dire che ho una retta orizzontale.
equazione-della-retta-orizzontale
Per y0k (pari cioè a un numero) ho l’equazione della retta orizzontale
  • Se b=0, l’equazione della retta implicita diventa:
    ay+c=0\to y=-\frac{c}{a}
    Quando quindi ho una formula con x=numero vuol dire che sto parlando di una retta verticale.
Equazione-retta-verticale
Per x=k (cioè pari a un numero), disegno una retta verticale
Trucco per imparare a riconoscere la retta orizzontale e la retta verticale

Ragiona con i contrari! Ricordandoti che y è l’asse verticale, se devi disegnare la formula della retta y=numero, vuol dire che disegnerai una retta orizzontale.

  • Se c=0, l’equazione della retta implicita diventa:
    ax+by=0
    Che rappresenta l’equazione della retta passante per l’origine degli assi (di qualsiasi inclinazione)
equazione-della-retta-passante-per-l'origine
Equazione della retta passante per l’origine
  • Se tutti i coefficienti della retta sono diversi da zero, allora ho semplicemente l’equazione della retta generica espressa in forma implicita. La retta quindi non sarà parallela agli assi cartesiani e non passerà certamente per l’origine.
    equazione-della-retta-implicita
    Equazione della retta implicita

 

Equazione della retta esplicita

La forma più utilizzata per esprimere l’equazione della retta generica è attraverso l’uso della forma esplicita. E’ la più usata perché, vedremo, permette già subito di capire in maniera approssimativa come sarà il grafico. L’equazione della retta esplicita è:

y=mx+q

dove m è il coefficiente angolare della retta, q è l’intercetta sull’asse delle ordinate o termine noto.

Che cos’è il coefficiente angolare m?

Il coefficiente angolare di una retta indica semplicemente la sua inclinazione. Se il coefficiente angolare è positivo allora la retta tenderà all’infinito al primo e terzo quadrante. Se m<0, allora la retta sarà inclinata in modo che all’infinito si troverà nel secondo e quarto quadrante.

Coefficiente-angolare-positivo-negativo
1- Coefficiente angolare Positivo 2- Coefficiente angolare negativo

Il termine noto, o intercetta sull’asse delle ordinate, invece, molto semplicemente mi dice a quale ordinata la retta si interseca con l’asse y. Nell’ultima immagine possiamo vedere che in entrambe le rette (sia per coefficiente angolare negativo che positivo) il termine noto è q, cioè l’ordinata del punto di intersezione tra retta e asse y.

Quando un punto appartiene ad una retta?

Si tratta di una verifica che si rende talvolta necessaria nello svolgimento degli esercizi. Verificare se il punto appartiene alla retta (o a una qualsiasi figura) è semplicissimo: è sufficiente andare a sostituire le coordinate del punto all’interno della formula della figura e verificare che il primo membro sia uguale al secondo membro.

Verificare che il punto 0(0;0) appartiene alla retta y=4x. Sostituisco x=0 e y=0 (cioè le coordinate dei punti) all’interno della formula della retta, per ottenere zero uguale a zero. Se i membri non fossero stati uguali, allora il punto non sarebbe appartenuto alla retta.

Equazione della retta passante per due punti

Per prima cosa verifichiamo che i due punti non abbiano stessa ascissa o stessa ordinata. Nel primo caso infatti avremmo una semplice retta verticale (di equazione y=l’ascissa in comune), nel secondo caso una retta orizzontale (di equazione x=ordinata in comune).

Imponiamo il passaggio dei due punti (A e B) per la retta generica di equazione y=mx+q. Sostituiamo la x e la y di  A nell’equazione della retta generica y=mx+q. Faccio la stessa cosa con il punto B ed ottengo così due equazioni dove le incognite sono m e q. Risolvo con un sistema di equazioni di primo grado e ottengo il risultato. Vediamo con un esempio: troviamo l’equazione della retta passante per due punti A(0;0) B(1,2)

esempio-retta-per-2-punti

Una volta trovati il termine noto q e il coefficiente angolare della retta m, è stato scritto il risultato finale, che abbiamo evidenziato in rosso.

Esercizi sull’equazione della retta

  1. Scrivere l’equazione del luogo dei punti di ascissa -9 (suggerimento: occorre trovare la retta i cui punti abbiano la stessa ascissa. Si tratta quindi di una retta verticale!)
  2. Determiniamo l’equazione delle retta passante per due punti A(2,3) B(0;4)
  3. Scriviamo l’equazione della retta r passante per O(0,0) e A(+2,-3) e verifichiamo che il punto B(1,1) non vi appartiene e il punto C(-4,+6) vi appartiene.
  4. Determiniamo il coefficiente angolare della retta s:-6x+2y+3=0

Per dubbi o problemi sugli esercizi sull’equazione della retta puoi contattarci ed esporci le tue difficoltà. In alternativa puoi proseguire con la prossima lezione, in cui parleremo ancora dell’equazione della retta, ma inizieremo alcune semplici come la distanza di un punto da una retta.

2 thoughts on “Equazione della retta implicita ed esplicita”

  1. Nell’esempio della retta passante per 2 punti avete messo il valore di x nella y del punto B (1;2)

  2. Grazie Paola, siamo lieti che i nostri studenti ci segnalino gli errori.
    Ovviamente abbiamo già provveduto a caricare la correzione. Grazie e continua a seguirci…

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