In questa lezione vedremo un paio di casi particolari in cui dalla risoluzione degli esercizi sulle equazioni di secondo grado abbiamo il delta negativo. Come si risolvono in questo caso? E’ possibile trovare una soluzione al problema?
Ovviamente diamo per scontato che hai familiarità con le equazioni di secondo grado e sai come si calcola il delta, cioè il discriminante. Ricordi la formula?
∆=b2-4ac
Abbiamo già visto i 3 casi:
- ∆>0 → quando il delta è maggiore di 0, l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
- ∆=0 → quando il delta è uguale a 0, l’equazione ammette due soluzioni coincidenti;
- ∆<0 → quando il delta è minore di 0, l’equazione non ammette soluzioni reali;
Delta negativo – qual è la soluzione?
La domanda che si fa lo studente medio è in genere: come risolvo un’equazione di secondo grado con delta negativo? Come hai potuto leggere dal paragrafo precedente, non ci sono soluzioni reali. Questo vuol dire che nella maggior parte dei casi ti basterà scrivere come risultato IMPOSSIBILE.
Ma che cosa significa che non ci sono soluzioni reali? Che, nel campo dei numeri reali, l’equazione non da alcun tipo di risultato accettabile, cioè è impossibile risolverla.
Equazione di secondo grado complessa
E’ un argomento che generalmente non si affronta nel programma di matematica di un liceo o comunque di una scuola superiore, ma in realtà l’equazione con delta negativo, ammette soluzioni nel campo dei numeri complessi.
Si tratta di un argomento lungo e complesso che generalmente si affronta all’università con i primi esami di analisi matematica. Tuttavia vale la pena fare un piccolo accenno sull’argomento semplicemente per permetterti di dare un risultato alle equazioni di secondo grado complesse.
Piccolo richiamo ai numeri complessi
L’unica cosa da sapere per poter trovare comunque una soluzione è che con i numeri complessi si introduce la lettera i. Un numero complesso è composto infatti da una parte reale e una immaginaria.
Ad esempio il numero complesso z può essere scritto come: z=a+i*b . “a” rappresenta la parte reale, mentre i*b rappresenta la parte immaginaria. a e b sono due numeri reali, mentre “i” resta sotto forma di lettera. Senza dilungarci troppo, ti basta sapere che la lettera “i” viene definita come i=√ (-1) , cioè è la radice quadrata di -1.
Risoluzione equazione di secondo grado con delta negativo
In base ala definizione della lettera “i” vediamo come si risolve un’equazione con delta minore di 0 con un esempio pratico.
x2+2x+2=0 → ∆=b2-4ac=(2)2-4(+1)(+2)=4-8=-4
Risultato: Impossibile
L’equazione ha delta negativo quindi sarebbe sufficiente scrivere “impossibile” (o “mai”) ma se vogliamo trovare una soluzione nel campo dei numeri complessi allora scriviamo la soluzione come:
x1,2=(-b∓√∆)/2a=[-2∓√(-4)]/2
Ricordando le proprietà delle radici, possiamo scrivere (-4) come (-1) *(+4) per cui la radice quadrata negativa si trasformerebbe in:
x1,2=[-2∓√(-4)]/2=[-2∓√(-1)*√(+4)]/2=[-2∓√(-1)*2]/2
In base a quanto abbiamo detto in precedenza, la radice di -1 corrisponde alla definizione di “i”, per cui possiamo scrivere:
x1,2=[-2∓√(-1)*2]/2=[-2∓2i]/2
Con una semplice raccoglimento a fattor comune ottengo:
x1,2=[-2∓2i]/2=2*[-1∓i]/2
Il 2 presente al numeratore si semplifica con il 2 al denominatore:
x1,2=2*[-1∓i]/2=-1∓i
Quindi le due soluzioni sono -1+i e -1-i. In questo modo l’esercizio si conclude e siamo riusciti a trovare le soluzioni dell’equazione di secondo grado con delta negativo usando i numeri complessi.