I prodotti notevoli sono delle operazioni algebriche che permettono di velocizzare calcoli come moltiplicazioni e potenze di polinomi. Si tratta di poche semplici regole da imparare e che permettono di semplificare notevolmente lo svolgimento di tanti tipi di esercizi.
Ad esempio le moltiplicazioni tra polinomi possono risultare difficili e lunghe. Attraverso i prodotti notevoli possono essere utilizzate delle regole per saltare numerosi passaggi e arrivare alla soluzione più facilmente.
In questa lezione riepilogativa vogliamo fornire allo studente un formulario sui prodotti notevoli. Troverai numerose lezioni di approfondimento cliccando sui vari link oppure andando direttamente al termine del formulario.
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(a+b)²=a²+2ab+b²
Il quadrato di binomio è pari al quadrato del primo termine più il doppio prodotto tra primo e secondo termine, più quadrato del secondo termine.
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Il cubo del binomio è pari al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.
(a+b)(a-b)=a²-b²
La somma per la differenza di due binomi identici ma con un segno opposto si risolve elevando al quadrato il primo termine, meno il quadrato del secondo termine.
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
Il quadrato di trinomio è pari alla somma dei quadrati di tutti i termini, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il doppio prodotto del primo per il terzo, più il doppio prodotto del secondo per il terzo.
(a+b+c)³ = a³+b³+c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc
Il cubo di binomio è pari alla somma dei cubi dei tre termini, più tutti i tripli prodotti tra i termini con i rispettivi quadrati, più sei volte il prodotto dei tre termini. Ricordati che questo prodotto notevole, sviluppato, ha ben 10 termini.
(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³
Questo tipo di prodotti notevoli viene utilizzato principalmente per le scomposizioni, per cui nella maggior parte dei casi dovrai leggerlo da destra a sinistra, cioè vale:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
La regola dice che la somma di polinomi è pari al prodotto del binomio somma per il trinomio composto da quadrato del primo, doppio prodotto negativo e quadrato del secondo.
(a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³
Anche questi prodotti notevoli si applicano generalmente alle scomposizioni. Per cui generalmente ti ritroverai in questa condizione:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
La differenza di due cubi è pari al prodotto del binomio differenza tra i due termini per il quadrato del primo, il prodotto tra i due termini, più il quadrato del secondo termine.