Tangente di un angolo e cotangente di un angolo

Una volta calcolati il seno e il coseno possiamo definire la tangente e la cotangente di un angolo. Ecco una lezione che troverai facile con esercizi svolti ed esempi.

 Tangente di un angolo

Tangente di 90 gradi

Cotangente di un angolo

Cotangente di 90 gradi

Tangente e cotangente tabella di valori notevoli

Esercizi svolti e con soluzione


Tangente di un angolo

Definizione di tangente: dato un triangolo rettangolo, la tangente è una funzione che si usa in goniometria definita come il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo:

tangente-di-un-angolo

Guardiamo la circonferenza goniometrica e capiamo cosa vuol dire. Dal punto di vista geometrico la tangente dell’angolo a è il segmento AT riportato sul grafico.

tangente-di-un-angolo-grafico
Grafico della tangente di un angolo

Notiamo che abbiamo due triangoli rettangoli: OPP’ e il triangolo rettangolo OAT. Essendo due angoli simili possiamo scrivere una proporzione tra i cateti:

tangente-di-un-angolo-definizione
Tangente di un angolo definizione e costruzione

OP’: OA = P’P : AT

Dove ricaviamo AT che è proprio la tangente che stiamo cercando. Ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che:

tangente-circonferenza-goniometrica

dove: P’P = sena, OP’= cosa, OA = 1 perché raggio della circonferenza goniometrica. Quindi sostituendo:

tangente-formula

Ma inizialmente abbiamo notato che AT è la tangente dell’angolo a, quindi AT= tga. Ottenendo così la definizione di tangente:

tangente-seno-coseno
Formula di tangente in funzione di seno e coseno

Tangente di un angolo di 90 gradi

Vi hanno detto in classe o avete letto sul vostro libro che “La tangente di 90° non esiste”, ma piuttosto che imparalo a memoria capiamo cosa vuol dire: guardate il disegno della circonferenza goniometrica in cui abbiamo scelto due angoli a e a’.

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

tangente-di-90

Se chiamiamo le relative tangenti AB e AC notiamo che AB è molto piccola, AC è molto grande. Per il calcolo della tangente possiamo così dire che:

  • Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento AB diventa piccolo, fino ad annullarsi.
  • Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento AC diventa grande, fino a che le due rette diventano parallele e non si incontrano mai!

Ecco perché diciamo che è impossibile calcolare la tangente a 90°, non può esistere o meglio non esiste la tangente di

tangente-a-90

Con k si indicano numeri reali interi, cioè 0, 1, 2, 3, 4…

In questo modo racchiudiamo in una sola formula tutti gli angoli pari: a = 90°+0, a = 90° + 180°, a = 90° + 360°…

Se hai qualche dubbio sull’unita di misura degli angoli puoi dare uno sguardo alla lezione sulla misura gli angoli in radianti e gradi.

Cos’è la cotangente di un angolo?

Definizione di cotangente: la cotangente di un angolo è definita come il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo, o come il reciproco della sua tangente:cotangente-di-un-angoloPossiamo disegnare il grafico della cotangente dell’angolo a con il segmento  GF.

grafico-della-cotangente

Considerando che i due triangoli rettangoli OGF e OPP’ sono simili, possiamo scrivere la proporzione:

GF : OP’ = OG : PP’

E ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che OP’= cosa, P’P = sena e OG = 1 perché coincide con il raggio della circonferenza goniometrica.

formula-della-cotangente

E quindi la cotangente è il reciproco della tangente come dalla definizione:

tangente-e-cotangente
Relazione tra tangente e cotangente

Cotangente di un angolo di 90 gradi

Come fatto per la tangente, per capire il valore della cotangente a 90°, guardiamo il disegno: abbiamo ancora due angoli a e a’.

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

cotangente-sulla-circonferenza-goniometrica

Se chiamiamo le relative cotangenti GF e GE notiamo che:

GF è molto grande

GE è molto piccola

  • Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento GF diventa grande, fino ad essere una retta parallela all’asse delle x;
  • Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento GE diventa piccolo, fino a diventare nullo.

Praticamente accade il contrario di quello che abbiamo visto per la tangente e quindi possiamo dire che la cotangente non esiste se:

cotangente-di-90-gradi

E cioè diciamo che non è definita (assume valore infinito) la cotangente negli angoli pari: a = 0°, 180°, 360°…

Tangente e Cotangente – Tabella di valori notevoli

Ecco una tabella con i valori delle funzioni goniometriche tangente e cotangente in alcuni angoli notevoli.

tabella-tangente-cotangente
Tabella sui valori di tangente e cotangente

Con i valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, e quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

Esercizi svolti su tangente e cotangente

Ecco alcuni esercizi svolti utilizzando la tabella dei valori di tangente e cotangente:

tangente-e-cotangente-esercizi-svolti

Ora puoi mettere alla prova le tua conoscenze con gli esercizi con soluzioni su tangente e cotangente:

tangente-e-cotangente-esercizi-soluzioni

Per le soluzioni degli esercizi, dubbi o problemi il nostro staff è a vostra disposizione per chiarimenti o lezioni private: contattaci.

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