Categoria: Scomposizioni di polinomi

La scomposizione di polinomi, chiamata su alcuni libri di matematica “fattorizzazione”, consente di scomporre un qualsiasi polinomio nel prodotto di pi√Ļ fattori.

La scomposizione in fattori di polinomi è importantissima per imparare a risolvere esercizi ed espressioni di algebra in cui il grado del polinomio sia maggiore di uno.

Se in classe hai studiato l’argomento e la spiegazione non √® stata molto chiara o se hai un test o un compito e non ti senti sicuro, in questa pagina trovi elencante tutti principali metodi di scomposizione dei polinomi.¬†Iniziamo da quello pi√Ļ semplice.

Raccoglimento a fattore comune

Si basa sul fatto che all’interno del polinomio ci sia un monomio comune a tutti (cio√® un massimo comune divisore). Questa tecnica di scomposizione di polinomi viene anche indicata con il termine “messa in evidenza”.

Si dice che si pu√≤ mettere in evidenza¬†qualcosa che hanno in comune i vari elementi che si sommano algebricamente in un polinomio. Cerchiamo di essere pi√Ļ precisi e chiari.

Messa in evidenza totale

Si calcola il M.C.D. tra i tutti i monomi all’interno del polinomio. Lo si mette fuori da una parentesi tonda e all’interno di quest’ultima si inseriscono nuovamente gli stessi monomi, divisi per√≤ per il MDC.

Vediamo un esempio pratico. Immaginiamo di avere il polinomio:

scomposizione-polinomi

Il termine in comune (cioè il massimo comune divisore) è x. Per cui mettiamo la x fuori da una parentesi tonda.

=x (‚Ķ)¬† –> Dividiamo a questo punto ciascuno dei tre monomi per il MDC e li riscriviamo all’interno della parentesi.

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Messa in evidenza parziale

In questo caso la scomposizione del polinomio è parziale, cioè si effettua due volte e su elementi differenti. Vediamo un esempio pratico.

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Sfoglia la lezione completa sul raccoglimento a fattor comune

Differenza di quadrati

E’ una delle scomposizioni di polinomi pi√Ļ semplici. Si applica tra due termini entrambi al quadrato e che hanno segni opposti.

Per risolvere √® sufficiente riscrivere i monomi una volta utilizzando il segno positivo e una volta il segno negativo, come nell’esempio che segue.

scomposizione-polinomi-notevoli

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Differenza di cubi

Ricorre in molti esercizi e test, ma in pochi ricordano questo metodo di scomposizione di polinomi. Abbiamo due monomi al cubo separati da un segno meno. Ecco la regola generale.

Si riscrivono i monomi in una prima parentesi eliminando le potenze. Nella seconda parentesi si inseriscono i due monomi al quadrato e il loro prodotto, tutti e tre con il segno “pi√Ļ”.

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Somma di cubi

Metodo di scomposizione di polinomi molto simile alla precedente, ma questa volta abbiamo un segno pi√Ļ tra i due monomi di terzo grado.

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Come prima: si mette una parentesi tonda con i due monomi senza le potenze. Nella seconda parentesi si inseriscono i due monomi al quadrato e il loro prodotto con il segno meno.

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Scomposizione di polinomi (trinomio) di secondo grado

Si sfrutta la regola delle equazioni di secondo grado al contrario. E’ sufficiente riconoscere due termini al quadrato e il loro doppio prodotto. Ecco un semplice esempio:

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Si può risolvere anche con il metodo del trinomio speciale (o trinomio caratteristico) utilizzando la tecnica della somma e prodotto.

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Quadrato di trinomi (6 termini)

Ti ricordi la regola per risolvere un quadrato di trinomio? Noi faremo il contrario, cioè partiamo da 6 termini per ottenerne 3 elevati al quadrato. Per applicare la scomposizione del polinomio, individua 3 termini che possono essere considerati dei quadrati e 3 doppi prodotti.

Troverai diversi esercizi sulle scomposizioni in cui applicare questa regole, per cui eccoti un semplice esempio.

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Scomposizione polinomi – tutte le tecniche approfondite

Differenza di cubi scomposizione ed esercizi

La differenza di cubi √® un tipo di scomposizione appartenente alla famiglia dei prodotti notevoli. Grazie a questa semplice regola √® possibile scomporre la differenza tra due cubi nel …