Proprietà dei logaritmi, tabella, esercizi e teoremi

In questa lezione vedrai finalmente una facile spiegazione sui logaritmi. Vedremo assieme quali sono le proprietà dei logaritmi, come sfruttarle negli esercizi in base anche alle regole sulle equazioni esponenziali.

Proprietà dei Logaritmi Tabella e Riassunto della lezione

Definizione di Logaritmo

moltiplicazione-di-logaritmidivisione-tra-logaritmiprodotto-di-logaritmi

Esercizi svolti


Definizione di logaritmi

L’argomento di oggi è uno dei più odiati dagli studianti, che trovano le proprietà dei logaritmi difficili e vanno spesso in confusione con le varie regole. Iniziamo dando una facile definizione di logaritmi.

Che cosa sono i logaritmi? Per capirlo partiamo dall’equazione esponenziale più semplice. Per calcolare l’incognita in questa semplice equazione si passa al logaritmo di n in base b.

proprieta-dei-logaritmi-definizione

Per memorizzare questa regola puoi ricordarti che la base dell’esponente diventa la base del logaritmo. Ne deriva la seguente definizione di logaritmo:

Dicesi logaritmo di un numero positivo n, rispetto ad una base b, il numero x che si deve dare come esponente alla base b per ottenere un numero n.

Da questa spiegazione ricaviamo subito alcune proprietà dei logaritmi:

  1. Esistono solo logaritmi di numeri positivi.
  2. Il logaritmo di 1 fa 0. Questo perché l’esponenziale con indice di potenza 0 dà come risultato 1.
  3. Il logaritmo della base logaritmica è 1. Detto in parole povere quando ho un logaritmo con base ed argomento uguali posso scrivere direttamente 1.
  4. Il logaritmo della base elevata ad un certo esponenziale è uguale a quell’esponente. Una spiegazione più semplice? Quando ho logaritmo con base ed argomento uguale con un esponente, il risultato è proprio pari all’esponente.

Regole e proprietà dei logaritmi

Le 4 regole che stiamo per analizzare saranno fondamentali non solo per risolvere i più facili esercizi sui logaritmi, ma anche per le equazioni logaritmiche che vedremo nelle prossime lezioni.

Prodotto di Logaritmi

Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

moltiplicazione-di-logaritmi

Il prodotto di logaritmi, o meglio la moltiplicazione tra gli argomenti, si risolve scrivendo una somma di logaritmi con la stessa base.

Per la dimostrazione della proprietà dei logaritmi, scriviamone due generici e applichiamo subito la definizione:

proprieta-dei-logaritmi-prodotto

Applicando a questo punto la prima proprietà delle potenze possiamo ottenere:

prodotto-di-logaritmi-proprieta

Divisioni di logaritmi

Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo ed il logaritmo del divisore.

divisione-tra-logaritmi

Per dimostrare questa proprietà dei logaritmi si applicano le stesse regole viste nella precedente dimostrazione. Posso quindi scrivere:

proprieta-logaritmi-rapporto

Potenza di un logaritmo

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base.

prodotto-di-logaritmi

Questo significa che ogni volta che incontri una potenza, devi semplicemente portare fuori l’esponente dal logaritmo. Per la dimostrazione di questa proprietà dei logaritmi consideriamo:

proprieta-dei-logaritmi-potenza

Questa regola può essere estesa anche alla radice di un logaritmo. Infatti la radice non è altro che una potenza dove l’indice di radice è il denominatore dell’esponente. Se non ricordi questa definizione, rileggi la lezione sulle regole dei radicali. Per cui possiamo scrivere:

radice-di-logaritmi

Esercizi facili sui logaritmi

In questa prima lezione proveremo a risolvere solo esercizi più facili mentre rimanderemo quelli più difficili ad una esercitazione interamente dedicata all’argomento.

Applica le proprietà dei logaritmi per risolvere le seguenti espressioni algebriche.

esercizio-sui-logaritmi-1

Notiamo che l’argomento del logaritmo presenta una divisione, per cui possiamo applicare la seconda proprietà dei logaritmi, quella relativa al rapporto.

logaritmo-esercizio-2


2-esercizio-sui-logaritmi

In questo secondo esempio sui logaritmi vediamo che ci sono diverse regole da applicare. Ci sono le radici, le potenze e le frazioni. Ecco come procedere:

esercizi-logaritmi-facili

Abbiamo quindi prima applicato la seconda proprietà dei logaritmi, il rapporto, risolvendo così la frazione. Successivamente, applicando le regole dei radicali, abbiamo portato tutti i numeri sotto radice per applicare così la regola delle potenze dei logaritmi.

A questo punto è sufficiente fare un raccoglimento a fattor comune e poi calcolare il minimo comune multiplo tra le due frazioni.

risultato-esercizio-logaritmi

A questo link puoi trovare altri esercizi svolti sulle regole dei logaritmi. Per chiarimenti o per un aiuto a risolvere i tuoi esercizi sui logaritmi, contattaci! Il nostro staff è sempre a tua disposizione.

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