Regole e proprietà dei radicali

Temutissime dagli studenti e sbagliate in molti compiti in classe, le regole sulle radici sono più semplici di quello che puoi immaginare. Oggi ti illustreremo quali sono le proprietà dei radicali e come applicarle.


Gli argomenti della lezione

Introduzione alle regole dei radicali

Proprietà fondamentale delle radici

Le moltiplicazioni tra radicali

Le divisioni

Potenze di radicali

Radici di radici

Portare fuori radice ( e dentro la radice)

Esempi

Razionalizzazioni di radici


Introduzione alle regole dei radicali

Quante volte hai chiesto un aiuto sui radicali? Stai cercando uno schema semplice su come risolvere i radicali? Ebbene in questa lezione avrai tutte le risposte di cui hai bisogno in maniera chiara e semplice. Vedremo le principali operazioni tra radicali e qualche esempio in modo da verificare praticamente le conoscenze acquisite.

Iniziamo subito dicendo che i radicali sono l’operazione inversa delle potenze: che significa? Così come la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione, la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, allo stesso modo l’operazione inversa della potenza è la radice.

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Proprietà fondamentale delle radici

Volendo costruire uno schema semplice su come risolvere i radicali, iniziamo dalla semplificazione, indicata dai testi come la fondamentale proprietà delle radici:

Moltiplicando l’indice della radice e l’esponente per uno stesso numero, il valore del radicale non cambia.

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Proprietà fondamentale dei radicali

Questo significa che il numero che indica la potenza e il numero che indica la radice possono essere semplificati tra loro. Vediamo subito un esempio pratico:

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Come semplificare i radicali

(*) Il processo vale anche al contrario. Ti capiterà spesso di incontrare, infatti, degli esercizi sui radicali in cui dovrai semplificare l’indice di radice con l’indice di potenza.

In questo esempio all’inizio abbiamo moltiplicato l’indice di radice 2 (il numero in alto a sinistra) e l’indice di potenza 1 per lo stesso numero, cioè per 3. In questo caso abbiamo moltiplicato, ma la regola vale anche per la divisione.

Le moltiplicazioni tra radicali

La moltiplicazione di due o più radicali aventi lo stesso indice di radice è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi.

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Moltiplicazione tra radicali

Le moltiplicazioni tra radici sono tra le più semplici proprietà dei radicali. La regola vale solo se l’indice è lo stesso! Questa è l’unica cosa a cui bisogna prestare attenzione. Per risolvere i radicali con le moltiplicazioni è sufficiente moltiplicare i radicandi (cioè i numeri sotto radice). Vediamo con un esempio pratico:

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Esempio di moltiplicazione tra radicali

Dal primo al secondo passaggio possiamo dedurre importantissima proprietà: è possibile scrivere le radici separatamente (radical due, radical tre e radical quattro) oppure inserirle sotto un’unica radice. La cosa importante che l’indice sia lo stesso, nel nostro esempio 3. Vediamo un altro caso concreto per capire bene questa regola sui radicali appena dedotta:

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Esempio n.2 sulla moltiplicazione tra radicali

Da notare che i radicali sono spariti perché abbiamo semplificato indice di radice ed esponente per due, applicando la fondamentale proprietà sui radicali.

La divisione

Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi.

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Divisione tra radicali

La formula per risolvere i radicali tra loro divisi è molto semplice. E’ sufficiente infatti dividere i radicandi. La conseguenza di questa regola, come si può vedere anche dalla formula è che possiamo scrivere sia due radicali separati che sotto un’unica radice. Ecco un esempio:

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Esempio di divisione tra radici

Da notare come negli esercizi sulle radici, è fondamentale cercare di esprimere i numeri in forma di potenze, così da poter provare poi a semplificare.

Potenze di radicali

Per elevare a potenza un radicale si eleva a potenza il radicando.

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Potenze di radicali

Nei due esempi che ti abbiamo illustrato, puoi vedere che questa regola sulle potenze è estremamente semplice: basta fare la potenza del numero sotto la radice!

Radici di radici

Questa è la proprietà delle potenze che maggiormente mette in difficoltà gli studenti. Non c’è bisogno neanche di fare schemi semplici, perché è immediato:

La radice di un radicale è uguale ad un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando.

Che tradotto significa: non ti fare troppi problemi, semplicemente moltiplica gli indici di radice e hai fatto, come puoi vedere nell’esempio:

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Radici di radici con esempio

Portare fuori radice ( e dentro la radice)

Il trasporto fuori dal segno di radice si esegue scomponendo al massimo i numeri ed applicando le regole viste in precedenza. In genere si procede riscrivendo il radicando in forma di potenza e semplificando con la radice. Vediamo subito un esempio pratico:

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Come portare fuori radice…

In questo piccolo esercizio abbiamo scomposto il radicando e successivamente usato le proprietà delle potenze, in particolare la regola della moltiplicazione. Dalla singola radice siamo passati alle due radici moltiplicate e, semplificando ancora, abbiamo ottenuto il risultato finale.

Il trasporto di un numero dentro la radice è probabilmente anche più semplice. Il numero da portare sotto radice va elevato all’indice di radice e inserito nel radicando come se fosse una normale moltiplicazione. Ecco un esempio:

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Esempio di come portare un numero sotto radice

Esempi

Per aiutarti a fare i tuoi esercizi di matematica avendo ben capito come risolvere i radicali, ti presentiamo i nostri esercizi svolti. Applicheremo in maniera rigorosa tutte le proprietà dei radicali.

Semplificare i radicali applicando le regole sulle radici

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Nell’ultimo esercizio abbiamo cercato di ridurre il denominatore a una potenza e, avendo lo stesso esponente del numeratore, abbiamo portato tutto nella stessa parentesi ed infine semplificato.

Eseguire le seguenti moltiplicazioni tra radicali

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Quest’esercizio ha una particolarità: gli indici di radice sono tutti diversi. Questo significa che non è possibile usare la regola sulle moltiplicazioni tra radicali! Per poterne usufruire è necessario prima fare in modo che tutti gli indici di radice siano uguale. Ciò è possibile con il calcolo del minimo comune multiplo tra gli indici:

mcm(2,3,4)=12

Per cui l’indice comune sarà 12. Moltiplico quindi indice ed esponente del primo radicale per 6 (l’operazione che abbiamo eseguito è stata mcm:indice=12:2=6). Con il secondo ho fatto mcm:3=4, per cui ho moltiplicato indice ed esponente per 4 e così anche nell’ultimo radicale rimasto. A questo punto ho ottenuto tre radicali con stesso indice di radice e posso applicare normalmente la regola sulle moltiplicazioni.

Eseguire le seguenti divisioni tra radicali

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Anche nell’esercizio sulle divisioni tra radicali compare lo stesso problema precedente: non ci sono indici uguali. Proprio per questo l’esercizio è stato risolto come prima: calcoliamo il minimo comune multiplo tra gli indici, riduciamo tutti i radicali allo stesso indice di radice e poi eseguiamo la divisione normalmente.

Portare sotto radice il fattore esterno e, se possibile, semplificare i risultati

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L’esercizio non è particolarmente complesso, basta che ti ricordi le scomposizioni dei polinomi, dato che abbiamo fatto una messa in evidenza totale.

Eseguire le operazioni tra radici e semplificare
esercizio-sui-radicaliCon questa lezione abbiamo provato a fornirti uno schema semplice sui radicali, cercando di rispondere alle domande più frequenti degli studenti. Ti invitiamo comunque a risolvere altri problemi dalla nostra lezione Esercizi sui Radicali oppure puoi scaricare la simulazione del prof. Cantone.

Per qualsiasi dubbio tu abbia sulle regole e proprietà dei radicali, non esitare a contattarci!

One thought on “Regole e proprietà dei radicali

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