Proprietà delle potenze regole ed esercizi

In questa lezione analizzeremo le regole sulle potenze. Verificheremo come riconoscere le proprietà delle potenze e come applicarle ai numeri relativi.


Le proprietà delle potenze sono semplici regole da ricordare ed utili per lo svolgimento di tantissimi esercizi di matematica. Non sono difficili e sono davvero poche: il consiglio è di impararle a memoria e di capire come applicarle.

Molto spesso gli studenti delle scuole superiori hanno notevoli difficoltà con le regole delle potenze. Il problema maggiore non sta tanto nell’applicare le varie formule sulle proprietà delle potenze, che stiamo per vedere, ma a saperle riconoscere. Oggi risolveremo ogni dubbio con consigli e suggerimenti su come riconoscere e risolvere gli esercizi con le potenze.

Cominciamo mostrandoti subito la tabella con le proprietà delle potenze completa, così da avere un quadro sintetico della spiegazione di oggi.

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Proprietà delle potenze, tabella completa

Nella tabella sulle proprietà delle potenze che hai appena visto, sono elencate 6 regole che puoi analizzare singolarmente. Eccole tutte:

  1. Proprietà delle potenze con lo stesso esponente (moltiplicazione)
  2. Proprietà delle potenze con lo stesso esponente (divisione)
  3. Proprietà delle potenze con la stessa base (moltiplicazione)
  4. Proprietà delle potenze con la stessa base (divisione)
  5. Potenza di potenza
  6. Potenza elevata a 0

Che cos’è una potenza?

Prima di andare a vedere quali sono e come applicare le proprietà delle potenze, facciamo una breve sintesi su che cosa sono le potenze.

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Al di là della definizione di potenza usata per l’aritmetica, a noi serve sapere che una potenza è formata da una base, il numero in basso, ed un esponente, il numero in alto.

La regola dei segni nei numeri relativi

In algebra i segni dei numeri sono fondamentali. Per evitare qualsiasi tipo di errore consigliamo di ricordare una sola semplice regola:

  • esponente PARI – il segno della potenza sarà sempre positivo
  • esponente DISPARI, il segno della potenza non cambia

Ad esempio, se devo risolvere una potenza negativa con indice pari, il risultato sarà sicuramente negativo.

-5^2=+25

Se invece ho una potenza ad indice negativo, il segno meno resta.

-5^3=-125

Proprietà delle potenze

Entriamo ora nel vivo della nostra lezione ed analizziamo le varie proprietà delle potenze, distinguendo i diversi casi a seconda delle basi e degli esponenti. Ecco le regole delle potenze da non dimenticare:

Proprietà delle potenze stessa base

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una nuova potenza che ha per base la stessa base ed esponente la somma degli esponenti.

(-5)^{+2}\cdot(-5) ^{-3}=(-5)^{+2-3}=(-5)^{-1}

Nell’esempio si nota come le due potenze, con esponenti +2 e -3, abbiano la stessa base, cioè -5. Essendoci un prodotto, si riscrive la base e si fa la somma algebrica degli esponenti, quindi si farà la somma o la differenza.

La divisione, detta anche rapporto, tra due potenze con stessa base mi dà come risultato una potenza con stessa base e differenza – cioè sottrazione – degli esponenti.

(-5)^{+2}:(-5) ^{-3}=(-5)^{+2-(-3)}=(-5)^{+2+3}=(-5)^{+5}

In questo piccolo esercizio è possibile notare come l’unica differenza con il prodotto sta nel seno meno. Questo vuol dire che il -3 dovrà cambiare segno e diventare +3.

Proprietà delle potenze stesso esponente

La moltiplicazione tra due potenze con stesso esponente mi dà come risultato una potenza in cui la base si ottiene dalla moltiplicazione delle due basi e l’esponente non cambia.

(-3)^{+2}\cdot(-5) ^{+2}=[-3\cdot(-5)]^{+2}=(+15)^{+2}

Per risolvere l’esempio è stato sufficiente eseguire una banale moltiplicazione tra numeri relativi e conservare l’esponente.

Il rapporto tra due potenze con stesso esponente mi genera una nuova potenza con il rapporto delle basi e stesso esponente.

(-30)^{-2}:(+5) ^{-2}=[-30:(+5)]^{-2}=(-6)^{-2}

Anche in questo caso l’esercizio si risolve in maniera molto semplice dividendo algebricamente le due basi, quindi attenzione ai segni, e mantenendo lo stesso esponente.

Potenza di potenza

La potenza di una potenza è una nuova potenza che conserva la base e per esponente ha il prodotto degli esponenti.

(-30)^{-2}:(+5) ^{-2}=[-30:(+5)]^{-2}=(-6)^{-2}

Al di là della definizione che sembra complessa, risolvere le regole sulle potenze di una potenza è molto semplice. Si mette la stessa base e si moltiplicano gli esponenti.

Potenze con esponente 0

Non rientrano proprio tra le proprietà delle potenze, ma si tratta di una breve parentesi molto semplice ma che non bisogna mai dimenticare.

Qualsiasi potenza con esponente pari a 0 dà come risultato sempre +1.

(-30)^{0}=+1

Insomma non importa quale sia la base o il segno. Se l’esponente è 0, il risultato sarà sempre +1.

Potenze negative

Se l’esponente è negativo è necessario invertire denominatore e numeratore della potenza. E se “sotto” non c’è nulla, si consideri il denominatore pari a 1. Vediamo come risolvere le potenze negative, frazioni e non, con qualche semplice esempio.

\left [ -\frac{3}{2} \right ]^{-4}=\left [ -\frac{2}{3} \right ]^{+4}=\left [ +\frac{2}{3} \right ]^{+4}=

Per trasformare le potenze negative in positive, quindi basta semplicemente “capovolgere” la frazione, cioè si invertono numeratore e denominatore. In questo modo il -4 diventa +4. Nell’esempio scompare il segno meno dalla frazione perché l’esponente è pari, per cui il risultato è certamente positivo.

A questo punto non mi resta che elevare a potenza, magari aiutandomi con la calcolatrice, sia il numeratore che il denominatore ed ottengo il risultato finale.

=\left [ +\frac{2}{3} \right ]^{+4}=\left [ +\frac{2^{4}}{3^{4}} \right ]=+\frac{16}{81}

Termina così questa parte teorica sulle regole e sulle proprietà delle potenze. A questo punto non resta che iniziare a provare a risolvere degli esercizi sulle potenze.

Se hai dubbi o hai bisogno di chiarimenti sulla lezione, restiamo comunque sempre a tua disposizione: contattaci!

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