Differenza di quadrati – come si esegue la scomposizione in modo corretto

La differenza di quadrati è un tipo di scomposizione appartenente alla famiglia dei prodotti notevoli. Attraverso questa regola è possibile scomporre un binomio composto da una differenza di due quadrati in un prodotto di due binomi molto simili tra loro.

Negli esercizi capiterà molto spesso di dover calcolare una differenza di quadrati, per cui si tratta di una regola molto importante anche se estremamente semplice.

Come si fa la differenza di quadrati?

La premessa è doverosa in questa lezione. TI ricordi quando abbiamo parlato del prodotto di una somma per una differenza? Dicemmo in quella lezione sui prodotti notevoli che esisteva un modo più semplice per risolvere (a+b)(a-b).

Ebbene questa lezione sulle scomposizioni di polinomi sarà particolarmente semplice perché faremo lo stesso calcolo ma al contrario. Vediamo una prima definizione che puoi trovare su qualsiasi libro di testo:

a²-b²=(a+b)(a-b)

La differenza di due quadrati si scompone nel prodotto della somma per la differenza della basi.

Quindi, in parole povere, per calcolare la differenza di quadrati ti basta scrivere lo stesso binomio in parentesi e aggiungere a questa una seconda parentesi in cui semplicemente si andrà a cambiare il segno.

Differenza di quadrati – esercizi svolti

Esercizio 1

4-9x² 

Per risolvere questo primo esercizio, procediamo lentamente e facciamo tutti i passaggi. Lo step iniziale è di identificare la differenza di quadrati. C’è un segno meno per cui si tratta realmente di una sottrazione e i due monomi che si sottraggono sono “radicabili”, cioè puoi fare la radice quadrata a mente senza problema e non si generano virgole o cose strane. Si tratta quindi di un caso semplice. Ecco come risolverlo.

  1. Riscrivo lo stesso binomio, facendo la radice dei due elementi che si sottraggono. Quindi in pratica sto calcolando radice di 4 meno radice di 9 x al quadrato: (2-3x)
  2. Alla fine della prima parentesi metterò una seconda parentesi con lo stesso binomio ma con il segno cambiato: (2-3x)(2+3x)

Per cui possiamo dire che:

4-9x² =(2x-3)(2x+3).

Esercizio 2

1/25 x² – y²

Abbiamo iniziato a complicare gli esercizi introducendo una frazione. Non lasciarti però spaventare. Come si fa la differenza di quadrati con frazioni? Anche in questo caso facciamo radice del primo e radice del secondo e le inseriamo in due parentesi diverse con il segno cambiato. Poiché la radice di 1/25 è 1/5, allora possiamo scrivere:

(1/5 x + y)(1/5 x – y)

Esercizio 3

(a+b)²-c²

La tentazione in questo caso è quella di andare a risolvere il quadrato di binomio. Ciò però non ci permetterà di scomporre il polinomio nel migliore dei modi e l’esercizio sarà sbagliato. Pensiamo però alla regola della differenza di quadrati: c’è un primo termine al quadrato e un secondo termine al quadrato.

Il primo termine non è altro che a prima parentesi, mentre il secondo termine è la . Per andremo a fare la radice di (a+b)² e la radice quadrata di c². Ecco quindi che l’esercizio può essere sviluppato come:

[(a+b)-c][(a+b)+c] → (a+b-c)(a+b+c)

Esercizio 4

a²-(b+c)²

Il caso è praticamente identico all’esercizio precedente. Non ci dilunghiamo quindi in ulteriori spiegazioni e risolviamo direttamente.

a²-(b+c)² = [a-(b+c)][a+b+c] = (a-b+c)(a+b+c)

L’unica cosa su cui devi stare attento è il segno da invertire in questo caso. Il segno è sempre quello tra i due termini al quadrato. Se avessi cambiato il segno all’interno della parentesi (b+c) avrei sbagliato.

Esercizio 5

a²+2ab+b²-4-4x-x²

In questo caso la traccia non ci fornisce direttamente i due termini al quadrato, ma proviamo ad analizzare i vari pezzi. a²+2ab+b² non è altro che (a+b)². Nella seconda parte ho invece, raccogliendo il segno meno, -(4+4x+x²) che possiamo riscrivere come -(x+2)².

Quindi l’espressione diventa:

(a+b)²-(x+2)²

A questo punto abbiamo una differenza di quadrati due binomi. Il caso è del tutto analogo ai due precedenti, per cui possiamo risolviamo direttamente senza dilungarci:

= [(a+b)-(x+2)] · [(a+b)+(x+2)] =

(a+b-x-2)(a+b+x+2).

Esercizi con soluzioni

Gli esercizi sono particolarmente semplici per cui vi consigliamo di risolverli tutti. Le soluzioni, assieme a dubbi e chiarimenti lascia un commento (soprattutto se la lezione è stata utile!).

Scomporre le differenze di quadrati

differenza-di-quadrati-esercizi-soluzioni

2 Commenti

  1. Agata 21 settembre 2016
    • Paolo - admin 21 settembre 2016

Lascia un commento