Logaritmo di 0? E’ impossibile! Ecco perché…

Quanto vale il logaritmo di 0? Come si può calcolare log0 oppure ln0 senza usare la calcolatrice, visto che dà risultato impossibile? Scoprirai che non c’è differenza tra il logaritmo naturale e decimale, il risultato non cambia. Ma iniziamo un passo alla volta.

Innanzitutto, così come abbiamo detto nella lezione sul logaritmo di infinito, è impossibile calcolare il logaritmo di zero questo perché la funzione non è definita in quel valore. Scrivere quindi loga(0) oppure ln(0) o log(0) non ha alcun senso. Il risultato, ha ragione la calcolatrice, è impossibile!

Una risposta più coerente potrebbe darla chi ha fatto già analisi e sa studiare il dominio di una funzione o semplicemente chi conosce l’andamento della funzione logaritmica. Cerchiamo comunque di dare una risposta semplice ed esaustiva alla portata di tutti.

Logaritmo di 0 – spiegazione matematica

Ti ricordi la definizione di logaritmo? Quando lo abbiamo studiato, avevamo visto che ogni logaritmo si esprime nella forma generica:

log_ab=c

Avrai sicuramente studiato che il logaritmo è l’inversa della funzione esponenziale.

log_ab=c → a^c=b

Cioè trovare un logaritmo significa trovare quell’esponente, applicato alla base a che mi da risultato l’argomento b. Per capire perché il logaritmo di 0 è impossibile prova a considerare l’esponenziale. Esiste un esponenziale che mi dà risultato 0? Considerando a>1, no!

Anche per questa ragione si dice che l’argomento del logaritmo, cioè b, deve essere maggiore di 0 (e non maggiore e uguale). Se questa prima spiegazione non ha convinto, ti diamo un’ulteriore dimostrazione con un metodo grafico.

Logaritmo di 0 sul grafico

Senza dover fare uno studio di funzione, complesso e lungo, proviamo a disegnare la funzione logaritmo assegnandole delle x in maniera arbitraria e calcolando di conseguenza la y con la calcolatrice. Avremo così delle coppie di punti (x,y) da andare ad inserire sul grafico.

Logaritmo di 0

Come puoi vedere dal grafico il logaritmo di 0 (in questo caso abbiamo usato calcolato il logaritmo decimale di zero) è impossibile perché la curva rossa della funzione non passa mai per la zona evidenziata in rosso. Cioè non va mai a toccare l’asse delle ordinate (la cui equazione della retta è x=0). Questo vuol dire che il logaritmo di 0 non può esistere.

Il grafico verrebbe molto simile anche provando a calcolare il logaritmo naturale di 0, anche provando a fare delle trasformazioni, come il cambiamento di base.

Quindi alla domanda: quanto vale il logaritmo di 0? Il risultato che devi scrivere sul tuo quaderno è impossibile, semplicemente perché l’argomento del logaritmo non può mai essere 0.

Limite del logaritmo di 0

Una scappatoia c’è! Se stai studiando i limiti sai benissimo che non bisogna cercare il logaritmo di zero. La domanda sarebbe posta male in questo modo. Si calcola cioè il limite di log(0), cioè i valori che la funzione assume negli intorni di zero. In questo caso, sempre osservando il grafico, si nota che man mano che la x si avvicina a zero (muovendoci da destra verso sinistra), la funzione va verso il basso, quindi si spinge a meno infinito.

Per questa ragione possiamo scrivere:

lim_x→0x=-∞

Conclusioni

Possiamo quindi affermare che, a meno che tu non faccia riferimento ai limiti e quindi al programma che si studia in analisi, il logaritmo di zero è impossibile. Per questa ragione se ti trovi a risolvere delle espressioni o delle equazioni in cui ti appare log(0) oppure ln(0) allora semplicemente scrivi IMPOSSIBILE e termina l’esercizio.