Quadrato di un trinomio – la formula risolutiva con esempi svolti

Il quadrato di un trinomio è un prodotto notevole che permette di calcolare il quadrato di polinomi composti da 3 monomi. Applicandone la regola inversa, è possibile scomporre un polinomio per ottenere un quadrato di trinomio.

Diamo per scontato, se stai leggendo questa lezione di matematica, che tu conosca come si calcola il quadrato di un binomio. La formula è praticamente la stessa, solo che bisogna tener conto che i monomi su cui effettuare il calcolo sono 3. Ecco allora come si risolvono i quadrati di trinomi.

Quadrato di un trinomio formula

Dato un polinomio composto da 3 monomi che si sommano tra di loro A(x), B(x) e C(x) che per semplicità chiameremo soltanto A, B e C. Per calcolare il quadrato di trinomio uso la formula:

(A+B+C)² = A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC

 Per calcolare il trinomio al quadrato si procede nel seguente modo:

  • quadrato del primo termine;
  • quadrato del secondo termine;
  • quadrato del terzo termine;
  • doppio prodotto del primo per il secondo;
  • doppio prodotto del primo per il terzo;
  • doppio prodotto del secondo per il terzo.

Per evitare gli errori pi√Ļ comuni

Come puoi notare calcolando i quadrati di trinomi si ottengono ben 6 elementi, cioè sei monomi. Se dopo il calcolo dovessi trovarne di meno, vuol dire che hai commesso un errore. Quindi alla fine del calcolo semplicemente conta quanti monomi hai ottenuto: se sono sei vuol dire che non hai tralasciato doppi prodotti. Uno degli errori maggiori infatti è proprio quello di dimenticare di moltiplicare alcuni dei termini.

Un altro errore molto frequente è quello di dimenticare i segni. Proprio per questa ragione ti suggeriamo, soprattutto per le prime volte e fino a quando non hai sufficiente pratica, di utilizzare molto le parentesi tonde. In questo modo hai la certezza di non sbagliare. Ecco come fare.

Quadrato di un trinomio negativo – esempio

(x-y-3)²=

=x²+y²+3²+2(x)(-y)+2(x)(-3)+2(-y)(-3)=

=x²+y²+9-2xy-6x-6y.

Quindi andando ad eseguire i calcoli abbiamo considerato ogni termine con il suo segno inserendolo all’interno di una parentesi.

Dimostrazione della formula

Come si ottiene la formula del quadrato di trinomio. Semplicemente prova a moltiplicare due trinomi identici.

(A+B+C)·(A+B+C) = A²+AB+AC+AB+B²+BC+AC+BC+C²

A questo punto si sommano i termini simili e si ottiene la formula definitiva: A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC.

NOTA: seguendo il procedimento inverso si può ottenere la scomposizione del polinomio in quadrato di trinomio. Se cioè abbiamo i sei termini appena individuati e dobbiamo eseguire una scomposizione, sappiamo che otteniamo il trinomio al quadrato.

Esempi sul quadrato trinomio

La parte teorica √® gi√† finita. Ti consigliamo di fare attenzione con le frazioni e, come gi√† detto, con i numeri negativi. Per il resto si tratta solo di fare un po’ di pratica. I quadrati di trinomi si risolvono con calcoli analoghi a quelli per i binomi. Facciamo qualche esempio pratico per togliere ogni dubbio.

Esercizio 1

(x²+y³-5z)²

Per risolvere questo esercizio ricordate delle proprietà delle potenze, in particolare della potenza di potenza. Ricordati che in quel caso andavamo a moltiplicare gli esponenti. Ci servirà quando andremo a fare il quadrato di y alla terza. Siamo pronti a risolvere dopo questa piccola premessa.

(x²+y³-5z)²=

=(x²)²+(y³)²+(-5z)²+2(x²)(y³)+2(x²)(-5z)+2(y³)(-5z)=

=x4+y6+25z2+2x²y³-10x²z-10y³5z.

Come puoi vedere, in questo esercizio per calcolare il quadrato di un trinomio, abbiamo prima calcolato il quadrato di ogni termine, poi eseguito letteralmente il doppio prodotto di ogni singola combinazione tra i vari termini del polinomio.

Esercizio 2

Proviamo a fare un esercizio un po’ pi√Ļ complesso usando anche le radici, visto che sono il terrore di ogni studente. In questo caso, senza neanche ricordarci le regole delle radicali, trattiamola come se fosse una lettera.

(x+1-‚ąö3)¬≤=

=x¬≤+1¬≤+(‚ąö3)¬≤+2(x)(1)+2(x)(-‚ąö3)+2(1)(-‚ąö3)=

=x¬≤+1+3+2x+-2x‚ąö3-2‚ąö3.

Scomposizione nel quadrato di un trinomio

Così come esiste il trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio, anche in questo caso se siamo attenti, possiamo riconoscere un polinomio composto da 6 monomi e scomporlo in un quadrato di trinomio. Ovviamente dovranno esserci 3 termini di cui è possibile fare la radice e 3 monomi pari, di cui cioè si stata fatto il doppio prodotto. Vediamo subito un esempio pratico:

x²+y²+z²+2xy-2xz-2yz → (x+y-z)²

Come abbiamo fatto a capire che il polinomio si poteva scomporre nel quadrati di un trinomio?

  • x¬≤+y¬≤+z¬≤ sono 3 termini al quadrato;
  • 2xy-2xz-2yz hanno tutti il numero 2 davanti, quindi possono essere considerati tutti dei doppi prodotti dei termini che prima avevamo trovato elevati al quadrato.

Il segno non lo si deduce dai termini al quadrato, visto che il quadrato rende il segno sempre positivo. Lo vediamo per√≤ dai doppi prodotti. Ad esempio 2xy ha segno positivo, per cui saranno entrambi positivi o entrambi negativi. 2xz ha invece segno negativo per cui i due monomi sono discordi: uno √® positivo e l’altro √® negativo. Ha senso quindi supporre che x e y siano positivi mentre z negativo.

Approfondimenti: guarda tutte le lezioni sulle scomposizioni di polinomi.

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