Somma di due cubi – la regola per la scomposizione

La somma di cubi è una scomposizione che appartiene alla famiglia dei prodotti notevoli. Si tratta di una regola che permette di scomporre la somma di due cubi nel prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado.

In questa lezione vedremo come si scompone la somma di cubi del tipo:

x³+a³

Questo tipo di scomposizione si incontra piuttosto frequentemente negli esercizi di algebra, ma anche nei programmi di matematica pi√Ļ avanzati. E’ importante quindi impararla a memoria e vedremo proprio il trucco per memorizzarla senza fatica. Vediamo intanto subito qual √® la formula da usare.

Somma di cubi – la formula

Dato il binomio composto dall’addizione di due cubi x¬≥+a¬≥, vale la regola seguente:

somma-di-cubi

La somma di cubi è pari al prodotto di un binomio somma di primo grado per un trinomio di secondo grado a segni alternati.

Il nostro consiglio, come detto, √® di imparare la regola a memoria per evitare di doverla ricavare ogni volta usando l’espressione che vedremo nella dimostrazione. C’√® una logica di fondo per memorizzare la formula. Quale? Eccola…

Il trucco per ricordarla

E’ possibile scomporre la somma di due cubi (x¬≥+a¬≥) scrivendo un binomio identico ma senza esponenti (x+a). A questo va moltiplicato un trinomio molto simile al quadrato di binomio negativo ma senza il 2 del doppio prodotto (x¬≤-ax+a¬≤). L’unica differenza con la differenza di cubi √® il segno meno nel trinomio.

Proviamo a mettere in pratica questa facile regola:

x³+8

  • riscriviamo il binomio senza usare gli esponenti (x+2)
  • aggiungiamo il simbolo della moltiplicazione
  • scriviamo il quadrato del binomio¬†di primo grado (con il segno meno per√≤!) appena ricavato, ma senza il 2 del doppio prodotto (x¬≤-2x+4)

Per cui la somma di cubi x³+8=(x+2)·(x²-2x+4)

Gli errori da evitare

Un piccolo consiglio: attenzione a non confondere la somma di due cubi con la somma di quadrati, che invece non si pu√≤ scomporre. Evita di confonderla anche con il cubo di un binomio del tipo (x+a)¬≥. Nel nostro caso infatti, sono i singoli monomi ad essere al cubo e non l’intero binomio.

Dimostrazione della formula

Per dimostrare come si scompone la somma di due cubi, semplicemente eseguiamo la moltiplicazione di polinomi che compare al secondo membro della formula vista.

(x²-ax+a²)(x+a)=

=x³+ax²-ax²-a²x+a²x+a³=

Andiamo a semplificare i termini opposti, per ottenere come risultato:

=x³+a³.

Scomposizione di somma di binomi di grado dispari

La regola vista sopra pu√≤ essere scomposta anche ai casi in cui l’esponente non sia 3, ma anche 5, 7 …. L’importante √® che sia di grado dispari che si tratti di una somma. Se infatti il grado fosse pari non sarebbe possibile eseguire la scomposizione.

somma-di-cubi-potenze

Per scomporre la somma di due potenze ad indice dispari¬†si scrive un prodotto in cui il primo fattore √® lo stesso binomio ma di grado 1. Il secondo fattore √® invece dato dalla somma algebrica dei due monomi inseriti il primo con indice di potenza decrescente (puoi notare che si parte con x4, poi c’√® x¬≥, …) e il secondo con indice di potenza crescente (si parte da a0, poi a1, a2, …).

Esercizi svolti sulle somme di cubi

Scomporre i seguenti binomi con le regole viste in questa lezione.

Esercizio 1

x³+1=

Questo primo esercizio non presenta grandi difficoltà. Possiamo facilmente fare la radice sia della x al cubo che del numero 1. Per cui non ci resta che applicare la formula.

=x²-ax+1.

Esercizio 2

x³+y³=

L’esercizio √® praticamente identico al precedente solo che abbiamo due lettere questa volta anzich√© una. Per cui applichiamo la regola:

x²-xy+y².

Esercizio 3

x6+2=

In questo caso non abbiamo pi√Ļ esplicitamente due cubi tuttavia x alla sesta pu√≤ essere riscritto come x al quadrato al cubo. Sul due non possiamo la radice cubica non da come risultato un numero naturale, per cui lasceremo semplicemente radice cubica di 2.

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Conclusioni

Se questa lezione ti è stata utile o sei hai ancora dubbi o domande, scrivi un commento. Il nostro staff ti risponderà nel minor tempo possibile.

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