Trinomio speciale o trinomio caratteristico – definizione e scomposizione con alcuni esempi svolti

Che cos’è un trinomio speciale? Come si effettua la sua scomposizione in maniera semplice? Ecco tutto dei facili appunti completi di alcuni esercizi svolti che ti aiuteranno a risolvere ogni dubbio sull’argomento.

Indice degli argomenti trattati:

• Definizione di trinomio speciale;
• Differenza tra trinomio caratteristico generalizzato e di secondo tipo;
• Un facile esempio pratico esplicativo + verifica;
• Regola scomposizione trinomio speciale passo passo;
• Trinomio caratteristico di secondo tipo;
• Esempio con coefficiente;
• Consigli e trucchi del mestiere;

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Definizione di trinomio speciale

Il trinomio speciale è detto anche trinomio caratteristico o notevole e rappresenta un particolare tipo di trinomio che può essere scomposto in maniera alternativa alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, cioè non si usa il delta.

Volendo dare una definizione semplice di trinomio speciale, possiamo dire che essa si presenta nella forma:

x²-sx+p

Viene chiamato trinomio perché è un polinomio composto dalla somma di 3 monomi. Si definisce particolare o caratteristico o notevole perché si risolve con la tecnica della somma e prodotto.

Nonostante infatti x²-sx+p sia molto simile a ax²+bx+c=0 (vedi equazioni di secondo grado) non si esegue una scomposizione con il metodo del delta, ma si abbrevia il tutto a pochi semplici passaggi.

Differenza tra trinomio speciale generalizzato e di secondo tipo

Il trinomio speciale generalizzato ha il coefficiente del termine di secondo grado sottinteso, cioè pari a 1. Nel caso in cui non dovesse verificarsi questa condizione, ci troveremmo di fronte ad un trinomio caratteristico di secondo tipo. Affronteremo anche questo caso all’interno di questa lezione, ma facciamo un passo alla volta.

Ciò che dobbiamo tener presente è che la lettera “s” sta ad indicare la somma delle soluzioni, mentre la lettera “p” il prodotto.

Esempio per iniziare

Vediamo subito praticamente come si effettua la scomposizione dei trinomi caratteristici andando ad analizzare un esempio concreto. Cerchiamo di scomporre il seguente trinomio speciale:

x²+3x+2

Questo vuol dire che

• s=x₁+x₂=-3
• p=x₁ x₂= +2

Per la scomposizione del trinomio caratteristico dell’esempio occorre trovare due numeri che sommati diano come risultato -3 e moltiplicati diano come risultato 2. Per semplicità partiamo dalla moltiplicazione: quali sono i numeri il cui prodotto fa +2?

(+2) (+1)

(-2) (-1)

Sono soltanto 2 le coppie di numeri possibili, senza coinvolgere frazioni che complicherebbero solo i calcoli. Di queste 2 coppie di numeri deve valere anche la condizione che la loro somma deve essere -3. Appare chiaro quindi che è la seconda soluzione l’unica accettabile.

(+2) (+1) → p=+2  s=+3

(-2) (-1) → p=+2  s=-3

A questo punto, trovati i due numeri (x₁=-2 x₂=-1), applico la stessa formula che uso per scomporre le equazioni di secondo grado.

ax²+bx+c=0 → a(x-x₁)(x-x₂)

che viene semplificata nel caso dei trinomi caratteristici visto che manca il coefficiente a (sottinteso pari a 1)

x²+bx+c=0 → (x-x₁)(x-x₂)

Per cui il trinomio speciale scomposto diventa:

x²+3x+2 =[x-(-2)][x-(-1)] =(x+2)(x+1)

Verifica della scomposizione del trinomio caratteristico

Ricordiamoci di fare una piccola moltiplicazione per verificare che il procedimento eseguito sia corretto. Se moltiplichiamo le due parentesi ottenute dopo la scomposizione, dovremmo tornare alla traccia:

(x+2)(x+1) = x²+x+2x+1=x²+3x+2 (Verifica soddisfatta!)

Scomposizione trinomio speciale

Hai visto quanto è semplice la regola spiegata con un esempio concreto? Vediamo di riassumere in pochi passaggi ciò che bisogna fare per risolvere i  trinomi notevoli con la tecnica somma e prodotto.

• Dato x²-sx+p il primo passo è trovare s (somma) e p (prodotto). Il primo non è altro che il coefficiente del termine con la x cambiato di segno. Invece il prodotto è il termine noto.
• A questo punto chiediti se ci sono 2 numeri che moltiplicati mi danno come risultato p. Almeno per i primi tempi, segnati su un foglio di carta quali sono le coppie che hai individuato.
• Tra le coppie trovati, quale soddisfa anche la condizione per cui la loro somma deve essere pari a s?
• In questo modo hai trovato x₁e x_{2 .}
• Applico la formula (x-x₁)(x-x₂) e ho risolto l’esercizio.

Trinomio caratteristico con coefficiente (di II tipo)

Nel caso in cui non dovesse essere sottinteso il coefficiente del termine di II grado è necessario ricorrere ad una piccola modifica della formula, altrimenti i calcoli non si troverebbero. In questo caso ci troviamo di fronte a:

ax²+bx+c

In questo caso

• s resta invariato, cioè s=x₁+x₂=-b (coefficiente di primo grado cambiato di segno)
• p=x₁ x₂ = c a
• ax²+bx+c=0 → (ax-x₁)(x-x₂/a)

Quindi in questo caso andremo a trovare delle coppie di numeri che moltiplicate mi diano come risultato (c)(a) e tra queste verificheremo quale soddisfa la condizione per cui la loro somma è pari a -b. Vediamo subito con un esempio pratico come mettere in pratica questo caso, leggermente più complicato del precedente.

Esempio con coefficiente

2x²-3x-2

Andiamo subito a calcolare somma e prodotto, ricordandoci di non trascurare i segni:

s=+3

p=(2)(-2)=-4

Ci servono quindi due numeri che moltiplicati mi diano come risultato -4. Quali sono le possibili coppie?

Coppia di possibili soluzioni 1:
x₁ =-4
x₂ =+1

Coppia di possibili soluzioni 2:
x₁ =+4
x₂ =-1

Coppia di possibili soluzioni 3
x₁ =+2
x₂ =-2

Di queste tre coppie individuate quale rispetta la condizione per cui la somma è pari a +3? La seconda:

x₁ =+4
x₂ =-1

Quindi andiamo ad applicare la formula: ax²+bx+c=0 → (ax-x₁)(x-x₂/a)

2x²-3x-2 → (2x+1)(x-4/2) → (2x+1)(x-2)

Verifica: ti lasciamo come esercizio per casa la verifica dell’esercizio svolto. Moltiplica le due parentesi e vedrai che otterrai proprio la traccia.

Suggerimenti e trucchi del mestiere

1. Il metodo visto per la scomposizione del trinomio speciale DEVE essere facile. E’ stato infatti pensato proprio per semplificare la vita ed evitare di calcolare il delta delle equazioni di secondo grado. Questo significa che se i numeri sono importanti e i calcoli complessi, è preferibile calcolare direttamente il delta.
2. Generalmente si consiglia di risolvere il trinomio caratteristico senza coefficiente al termine di secondo grado. In questo modo i calcoli sono molto più rapidi e nella maggior parte dei casi fattibili a mente.
3. Il metodo analizzato con la somma e prodotto è valido per scomporre anche tutte le equazioni che hanno due soluzioni, cioè con discriminante maggiore di zero. Quando si ha il delta negativo, il metodo non può essere applicato.

Puoi esercitarti ad utilizzare il metodo del trinomio speciale scomponendo i vari trinomi che trovi nel capitolo dedicato agli esercizi sulle equazioni di secondo grado. Li troverai svolti con il metodo del delta, tu invece prendi la traccia e prova a scomporre il trinomio caratteristico.