Uno dei prodotti notevoli che creano maggiori difficoltà agli studenti di matematica è senza dubbio il cubo di un trinomio. La regola spesso non è neanche riportata nei libri e nei programmi di studio, ma quando la si ritrova poi in un esercizio non si sa come affrontarla. Ovviamente per poterla capire è importante aver presente la formula del cubo di binomio.
Ecco allora come si calcola il cubo di trinomio, partiamo subito dalla formula.
Cubo di un binomio – la formula
(A+B+C)³ = A³ + B³ + C³ + 3A²B + 3AB² + 3A²C + 3AC² + 3B²C + 3BC² + 6ABC
Per calcolare il cubo di binomio bisogna fare:
- cubo del primo termine;
- cubo del secondo termine;
- cubo del terzo termine;
- triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo;
- triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo;
- triplo prodotto del quadrato del primo per il terzo;
- triplo prodotto del primo per il quadrato del terzo;
- triplo prodotto del quadrato del secondo per il terzo;
- triplo prodotto del secondo per il quadrato del terzo;
- il prodotto del primo per il secondo per il terzo, tutto moltiplicato per 6;
Considerazioni
Come puoi vedere la formula del cubo di trinomio non è molto semplice, soprattutto da ricordare c’è il rischio che ci si dimentichi di qualche moltiplicazione. E’ l’errore più frequente che si commette durante i compiti. Ecco la ragione per cui alcuni docenti consigliano di risolvere il cubo di un trinomi facendo la moltiplicazione 3 volte dello stesso trinomio, così come vedremo nella dimostrazione di seguito.
Riassumendo per il calcolo dato il trinomio T , possiamo fare il cubo come T³, oppure moltiplicare tutto come T·T·T, oppure scriverlo come T²·T, cioè fare la moltiplicazione del quadrato di trinomio per il trinomio stesso. Le tecniche risolutive sono sostanzialmente 3 e puoi scegliere quella che preferisci e che ti crea meno problemi di calcolo:
- T·T·T → semplicemente moltiplica i tre trinomi;
- T²·T → esegui il quadrato del trinomio;
- T³ → usa la formula del cubo di trinomio.
Dimostrazione
Fare il cubo di un trinomio, di un monomio o più in generale di un numero significa moltiplicarlo tre volte per se stesso. Cioè volendo fare il cubo di A significa voler calcolare: A³=A·A·A. Ricordi che cos’è un trinomio? E’ un polinomio composto da tre monomi. Quindi dato il generico polinomio:
(A+B+C)³=
=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=
Tra i primi due possiamo risolvere anche calcolando il quadrato di trinomio (A+B+C)·(A+B+C) = (A+B+C)², tuttavia per semplicità facciamo tutti i calcoli proseguendo con la moltiplicazione di polinomi.
=(A²+AB+AC+AB+B²+BC+AC+BC+C²)·(A+B+C)=
=(A²+2AB+2AC+2BC+B²+C²)·(A+B+C)=
=A³ + A²B + A²C + 2A²B + 2AB² + 2ABC + 2A²C +
+ 2ABC + 2AC² + 2ABC + 2B²C + 2BC² + AB² +
+B³ + B²C + AC² + BC² + C³ =
A questo punto si calcola la somma dei monomi simili. Per aiutarti abbiamo evidenziato i termini simili con lo stesso colore:
=A³+B³+C³+3A²B+3AB²+3A²C+
+3AC²+3B²C+3BC²+6ABC.
Cubo di un trinomio negativo
Ovviamente l’esercizio si complica nel momento in cui compaiono anche dei segni negativi. Personalmente consigliamo ai nostri studenti, soprattutto quando non si ha molta pratica con il metodo di calcolo, di eseguire tutti i singoli passaggi utilizzando le parentesi.
Vediamone un esempio:
(A-B+C)³=
=A³ + (-B)³ + C³ + 3A²(-B) + 3A(-B)² + 3A²C + 3AC² + 3(-B)²C + 3(-B)C² + 6A(-B)C =
=A³ + -B³ + C³ – 3A²B + 3AB² + 3A²C + 3AC² + 3B²C – 3BC² – 6ABC.
Come hai potuto vedere nell’applicazione della regola semplicemente abbiamo inserito una parentesi in cui c’è il termine negativo.
Esempio 2.
(2x+1-√3)³=
=(2x)³ + (1)³ + (-√3)³ + 3(2x)²(1) + 3(2x)(1)² + 3(2x)²(-√3) + 3(2x)(-√3)² + 3(1)²(-√3) + 3(1)(-√3)² + 6(2x)(1)(-√3) =
=8x³ + 1 – 3√3 + 3·4x² + 6x – 3·4x²√3 + 6x(3) – 3√3 + 3(3) – 12x√3 =
=8x³ + 1 – 3√3 + 12x² + 6x – 12x²√3 + 18x – 3√3 + 9 – 12x√3 =
=8x³ + 10 – 6√3 + 12x² + 6x – 12x²√3 + 18x – 12x√3 =
Volendo essere ancora più precisi possiamo effettuare una scomposizione con raccoglimento parziale di alcuni monomi.
=8x³ + 10 – 6√3 + 12x²(1-√3) + 12x(2x – √3) .