Triangolo di Tartaglia spiegazione ed esempi

Il triangolo di Tartaglia è una tabella a forma di piramide contenente dei numeri naturali. Questi non sono altro che i coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia è ha una dimensione praticamente infinita (come capirai a breve) ed è di fondamentale importanza per risolvere l’elevazione a potenza di un binomio.

A che serve il triangolo di Tartaglia?

Nella lezione sul quadrato di un binomio abbiamo visto che (a+b)² mi genera un trinomio a²+2ab+b². I coefficienti di quest’ultimo sono i tre numeri: 1 – 2 – 1. Il triangolo di Tartaglia serve proprio per conoscere in anticipo quali sono questi coefficienti, qualsiasi sia l’indice di potenza. Lo stesso si può dire anche per il cubo di un binomio (a+b)³ porta al polinomio a³+3a²b+3ab²+b³. I coefficienti, che ci ritroveremo quindi nel triangolo di Tartaglia sono 1 – 3 – 3 – 1.

Questo ragionamento si può estendere a tutte le potenze, ragion per cui quella che viene considerata Piramide di Tartaglia è potenzialmente infinita. Quindi sostanzialmente il triangolo di Tartaglia ti permette di sviluppare le potenze di binomi senza dover fare tutti i calcoli.

Come si costruisce il triangolo di Tartaglia?

Partiamo da una semplice considerazione, ovvero che per le regole delle potenze, qualsiasi numero o lettera (inclusi i monomi e i polinomi) elevati a 0, danno come risultato 1.

(a+b)→ 1

Elevando lo stesso binomio alla 1, invece, otteniamo lo stesso binomio, per cui i coefficienti sono 1 e 1.

costruzione-triangolo-di-tartaglia-1

A questo punto possiamo proseguire con la costruzione del triangolo di Tartaglia con semplici operazioni aritmetiche. Osserviamo infatti che ogni numero inserito nella nostra piramide è uguale al numero che sta subito in alto sommato a quello che sta in alto immediatamente a sinistra. La regola inoltre prevede che quando c’è casella bianchi si consideri il numero pari a 0. Vediamo praticamente come si fa passo passo:

costruzione-triangolo-di-tartaglia-2

Ogni numero cerchiato con un colore diverso è stato ottenuto sommando i numeri raggiunti dalla rispettiva freccina. Allo stesso modo, per il cubo di binomio, si ottiene

triangolo-di-tartaglia-passo-3

Possiamo proseguire in questo modo ed ottenere i coefficienti di tutte le potenze di un binomio. Quella che vi mostriamo ora è la tabella che arriva fino a 7. Ovviamente si può tranquillamente andare oltre, non ci sono limiti. E’ proprio questo il punto di forza di questa regola generale.

spiegazione-triangolo-di-tartaglia

Triangolo di Tartaglia completo

Come hai potuto vedere la spiegazione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice e necessita di poche somme aritmetiche. Da notare che la prima colonna contiene solo numeri 1 così come la diagonale di questo triangolo rettangolo.

Come calcolare le potenze di un binomio

A questo punto per calcolare la potenza generica di un binomio la regola è semplicissima: il primo monomio lo si fa iniziare con il grado massimo e lo si decresce di 1 per ogni singolo monomio, mentre il secondo monomio inizia con grado 0 e finisce con il grado massimo.

Per capire meglio come calcolare le potenze, vediamo come si usa il Triangolo di Tartaglia con un esempio:

Risolvere il binomio alla quarta (a+b)4

triangolo-di-tartaglia-alla-quarta

Potenza con il Triangolo di Tartaglia alla quarta

Come abbiamo risolto l’esercizio? Dato che il binomio è alla quarta andiamo a considerare i coefficienti della relativa riga sul triangolo (che abbiamo segnato in rosso). Il primo termine avrà quindi quindi coefficiente 1, il secondo 4, il terzo 6, il quarto 4 e l’ultimo 1. Per quanto riguarda le lettere, invece la a avrà da subito grado 4 mentre b grado 0 (infatti non c’è!). Il secondo termine la a avrà grado 3, mentre b grado 1. Il terzo termine avrà coefficiente 6, grado della a 2 e grado di b 2 e così via.

Esercizi con soluzione

Una delle domande che potrebbe porsi lo studente è: ma come si risolvono le potenze con Tartaglia se ho dei monomi negativi? Vediamo subito in un esempio:

binomio-alla-quinta-tartaglia

Binomio con potenza alla quinta risolto con Tartaglia

Hai visto che anche con una potenza di un binomio con un segno meno non cambia la regola di Tartaglia: anzi, per evitare di sbagliare, è sufficiente che tu la applichi in maniera rigorosa usando bene le parentesi tonde. Metti ogni monomio all’interno delle parentesi e vedrai che i segni non ti creeranno problemi. Ovviamente per ogni esercizio non c’è bisogno di riscrivere il triangolo da capo, ti basta avere uno schema che puoi consultare ogni volta che dovrai risolvere un esercizio.

Tartaglia-alla-sesta

Potenza con Tartaglia alla sesta

Esercizi da risolvere

Non resta che esercitarti con semplici tracce.

esercizi-triangolo-di-tartaglia

Esercizi sul triangolo di Tartaglia

Da notare che l’ultimo esercizio include una radice quadrata. Se hai ben presente le regole delle radici, non spaventarti e prova a risolvere normalmente l’esercizio. Se segui alla lettera la regola che abbiamo studiato oggi assieme, vedrai che non avrai alcun problema.

Una risposta

  1. alvaro 7 luglio 2016

Lascia un commento