Triangolo di Tartaglia spiegazione ed esempi

Il triangolo di Tartaglia √® una tabella a forma di piramide contenente dei numeri naturali. Questi non sono altro che i coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia √® ha una dimensione praticamente infinita (come capirai a breve) ed √® di fondamentale importanza per risolvere l’elevazione a potenza di un binomio.

A che serve il triangolo di Tartaglia?

Nella lezione sul¬†quadrato di un binomio¬†abbiamo visto che (a+b)¬≤ mi genera un trinomio a¬≤+2ab+b¬≤. I coefficienti di quest’ultimo sono i tre numeri: 1 – 2 – 1. Il triangolo di Tartaglia serve proprio per conoscere in anticipo quali sono questi coefficienti, qualsiasi sia l’indice di potenza.¬†Lo stesso si pu√≤ dire anche per il cubo di un binomio (a+b)¬≥ porta al polinomio a¬≥+3a¬≤b+3ab¬≤+b¬≥. I coefficienti, che ci ritroveremo quindi nel triangolo di Tartaglia sono 1 – 3 – 3 – 1.

Questo ragionamento si può estendere a tutte le potenze, ragion per cui quella che viene considerata Piramide di Tartaglia è potenzialmente infinita. Quindi sostanzialmente il triangolo di Tartaglia ti permette di sviluppare le potenze di binomi senza dover fare tutti i calcoli.

Come si costruisce il triangolo di Tartaglia?

Partiamo da una semplice considerazione, ovvero che per le regole delle potenze, qualsiasi numero o lettera (inclusi i monomi e i polinomi) elevati a 0, danno come risultato 1.

(a+b)0 → 1

Elevando lo stesso binomio alla 1, invece, otteniamo lo stesso binomio, per cui i coefficienti sono 1 e 1.

costruzione-triangolo-di-tartaglia-1

A questo punto possiamo proseguire con la costruzione del triangolo di Tartaglia con semplici operazioni aritmetiche. Osserviamo infatti che ogni numero inserito nella nostra piramide √® uguale al numero che sta subito in alto sommato a quello che sta in alto immediatamente a sinistra. La regola inoltre prevede che quando c’√® casella bianchi si consideri il numero pari a 0. Vediamo praticamente come si fa passo passo:

costruzione-triangolo-di-tartaglia-2

Ogni numero cerchiato con un colore diverso è stato ottenuto sommando i numeri raggiunti dalla rispettiva freccina. Allo stesso modo, per il cubo di binomio, si ottiene

triangolo-di-tartaglia-passo-3

Possiamo proseguire in questo modo ed ottenere i coefficienti di tutte le potenze di un binomio. Quella che vi mostriamo ora √® la tabella che arriva fino a 7. Ovviamente si pu√≤ tranquillamente andare oltre, non ci sono limiti.¬†E’ proprio questo il punto di forza di questa regola generale.

spiegazione-triangolo-di-tartaglia

Triangolo di Tartaglia completo

Come hai potuto vedere la spiegazione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice e necessita di poche somme aritmetiche. Da notare che la prima colonna contiene solo numeri 1 così come la diagonale di questo triangolo rettangolo.

Come calcolare le potenze di un binomio

A questo punto per calcolare la potenza generica di un binomio la regola è semplicissima: il primo monomio lo si fa iniziare con il grado massimo e lo si decresce di 1 per ogni singolo monomio, mentre il secondo monomio inizia con grado 0 e finisce con il grado massimo.

Per capire meglio come calcolare le potenze, vediamo come si usa il Triangolo di Tartaglia con un esempio:

Risolvere il binomio alla quarta (a+b)4

triangolo-di-tartaglia-alla-quarta

Potenza con il Triangolo di Tartaglia alla quarta

Come abbiamo risolto l’esercizio? Dato che il binomio √® alla quarta andiamo a considerare i coefficienti della relativa riga sul triangolo (che abbiamo segnato in rosso). Il primo termine avr√† quindi quindi coefficiente 1, il secondo 4, il terzo 6, il quarto 4 e l’ultimo 1. Per quanto riguarda le lettere, invece la a avr√† da subito grado 4 mentre b grado 0 (infatti non c’√®!). Il secondo termine la a avr√† grado 3, mentre b grado 1. Il terzo termine avr√† coefficiente 6, grado della a 2 e grado di b 2 e cos√¨ via.

Esercizi con soluzione

Una delle domande che potrebbe porsi lo studente è: ma come si risolvono le potenze con Tartaglia se ho dei monomi negativi? Vediamo subito in un esempio:

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Binomio con potenza alla quinta risolto con Tartaglia

Hai visto che anche con una potenza di un binomio con un segno meno non cambia la regola di Tartaglia: anzi, per evitare di sbagliare, √® sufficiente che tu la applichi in maniera rigorosa usando bene le parentesi tonde. Metti ogni monomio all’interno delle parentesi e vedrai che i segni non ti creeranno problemi. Ovviamente per ogni esercizio non c’√® bisogno di riscrivere il triangolo da capo, ti basta avere uno schema che puoi consultare ogni volta che dovrai risolvere un esercizio.

Tartaglia-alla-sesta

Potenza con Tartaglia alla sesta

Esercizi da risolvere

Non resta che esercitarti con semplici tracce.

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Esercizi sul triangolo di Tartaglia

Da notare che l’ultimo esercizio include una radice quadrata. Se hai ben presente le regole delle radici, non spaventarti e prova a risolvere normalmente l’esercizio. Se segui alla lettera la regola che abbiamo studiato oggi assieme, vedrai che non avrai alcun problema.

Una risposta

  1. alvaro 7 Lug 2016

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