Teorema di Carnot o Teorema del coseno

Si chiama Teorema di Carnot oppure Teorema del Coseno e permette di calcolare rapidamente la misura di un lato di un generico triangolo date le misure degli altri due lati e del loro angolo compreso.

Questo teorema si traduce in una formula trigonometrica estremamente utile nello svolgimento di esercizi e problemi. Assieme al teorema dei seni, il teorema del coseno (o teorema di Carnot) 猫 una delle poche formule applicabili a qualsiasi tipo di triangolo.

Definizione teorema di Carnot (o teorema del coseno)

Enunciato: in ogni triangolo, il lato di un quadrato 猫 pari alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso.

Sembra difficile da ricordare eppure, tra poco, ti renderai conto di quanto questo teorema sia semplice. Cerchiamo di tradurre con linguaggio matematico la definizione del teorema del coseno.

Formula di Carnot

Disegniamo innanzitutto un generico triangolo assegnando nomi a vertici ed angoli.

teorema-di-carnot-coseno

AB虏 = BC虏 + AC虏 – 2路BC路AC路cos纬

BC虏 = AB虏 + AC虏 – 2路AB路AC路cos伪

AC虏 = AC虏 + BC虏 – 2路AB路BC路cos尾

Spiegazione semplificata

Vediamo passo passo come l’enunciato ci porta alla formula. Dato il generico triangolo ABC, vogliamo calcolare il lato AB.

Il teorema del coseno ci dice che il lato AB al quadrato 猫 pari alla somma dei quadrati degli altri due lati…

  • AB虏 = AC虏+BC

meno il doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso. Gli altri due lati sono BC e AC, mentre l’angolo compreso tra questi lo abbiamo indicato con la lettera 纬. Per cui la formula sar脿:

  • AB虏 = BC虏 + AC虏 – 2路BC路AC路cos纬

Ovviamente il calcolo si pu貌 ripetere con tutti i lati del triangolo, ecco la ragione per cui abbiamo scritto 3 formule per il teorema di Carnot.

Dimostrazione del teorema del coseno

Vediamo a questo punto come si dimostra il teorema di Carnot. Disegniamo il triangolo generico e l’altezza relativa al lato AB. 

teorema-del-coseno-dimostrazione

Consideriamo il triangolo rettangolo AHC ed utilizziamo le formule dei teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria. Possiamo cos矛 calcolare quindi l’altezza disegnata CH e il cateto AH e il  in funzione del lato noto AC, ipotenusa del triangolo AHC.

Cateto = ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente

CH = AC 路 sen伪
AH = AC 路 cos伪

Osservando il triangolo ABC, in particolar modo il segmento AB, possiamo notare che vale la relazione:
AB = AH + HB e quindi HB = AB-AH (abbiamo solo spostato i membri dell’equazione da una parte all’altra cambiando i segni).

Avendo calcolato AH, possiamo sostituire:

HB = AB – AH 鈫 HB = AB – AC cos伪

Applichiamo a questo punto il teorema di Pitagora al secondo triangolo rettangolo BCH.

BC虏 = CH虏 + HB虏 e sostituiamo con HB appena calcolato e con l’HC che abbiamo calcolato prima (evidenziato in grassetto).

BC虏 = (AC sen伪)虏 + (AB – AC cos伪)虏

Sviluppiamo le operazioni algebriche. Da notare che al secondo membro c’猫 un quadrato di binomio, per cui non dimentichiamoci del doppio prodotto.

BC虏 = AC虏 sen虏伪 + AB虏 + AC虏 cos虏伪 – 2 AB AC cos伪

Osserviamo che c’猫 un termina con AC虏 che pu貌 essere messo in evidenza. Facciamo quindi il raccoglimento a fattor comune.

BC虏 = AC虏 (sen虏伪 + cos虏伪) + AB虏  – 2 AB AC cos伪

Una delle relazioni fondamentali della trigonometria sottolinea come il seno al quadrato pi霉 il coseno al quadrato sono pari a 1, per cui:

BC虏 = AC虏 + AB虏  – 2 AB AC cos伪

(Dimostrazione terminata – come volevasi dimostrare)

Teorema del coseno e teorema di Pitagora

Osservando bene la formula, ti renderai conto che il teorema di Carnot 猫 molto simile al teorema di Pitagora, con la differenza che il primo 猫 valido per tutti i triangoli, il secondo solo per i triangoli rettangoli.

Infatti si dice che il teorema del coseno 猫 una generalizzazione di Pitagora. Avendo il triangolo rettangolo un angolo pari a 90掳 ed essendo il coseno di 90掳 pari a 0, allora applicando Carnot ottieni proprio la formula del teorema di Pitagora

AB虏 = BC虏 + AC虏  – 2 BC AC cos纬 
纬= 90掳 鈫 cos纬 = cos90掳 = 0

AB虏 = BC虏 + AC虏

Esercizi con il teorema del coseno

Problema 1

Dato il triangolo ABC, calcolare la misura del lato AB sapendo che gli altri due lati misurano 5 e 10 cm e l’angolo tra essi compreso ha ampiezza pari a 30掳.

Svolgimento

Abbiamo gi脿 tutti i dati a disposizione per applicare il teorema di Carnot. Scriviamo quindi subito la formula:

AB虏 = BC虏 + AC虏  – 2 BC AC cos纬 

AB虏 = (5)虏 + (10)虏  – 2 (5)(10) cos30掳

Poich茅 il coseno di 30 gradi 猫 pari a radical 3 fratto 2, allora il risultato sar脿:

AB虏 = 25 + 100 – 50鈭3 = 125 – 50鈭3 = 38,4 cm虏

AB = 6,2 cm

Problema 2

Determinare la misura di uno degli angoli del triangolo che ha per lati a=鈭3cm b=1cm e c=2cm

Svolgimento

In questo caso, visto che ci viene chiesto di calcolare l’ampiezza degli angoli, dovremo far riferimento alle formule inverse del teorema del coseno.

AB虏 = BC虏 + AC虏  – 2 BC AC cos纬 

2 BC AC cos纬 = BC虏 + AC虏 – AB虏 

cos纬 = (BC虏 + AC虏 – AB虏) / (2 BC AC)

cos纬 = (1虏 + 2虏 – 鈭3虏) / (2路1路2) = (1+4-3)/(4) = 2/4 = 1/2

A questo punto possiamo calcolare l’angolo dal coseno semplicemente sfruttando l’arcocoseno.

纬 = arccos(1/2) = 60掳

Conclusioni

In questa lezione abbiamo studiato in maniera approfondita il teorema di Carnot. Abbiamo visto quando e come applicarlo agli esercizi e problemi.

Se dovessero esserci ancora dubbi sull’argomento, non esitare a lasciare un commento. Se questa lezione ti 猫 stata utile, lascia un commento positivo, ci aiuter脿 a crescer脿 e a migliorare giorno per giorno la qualit脿 degli appunti.

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