Formule parametriche nei problemi di trigonometria

Le formule parametriche del seno e del coseno vengono utilizzate in trigonometria per esprimere le principali funzioni goniometriche (seno e coseno) in funzione di un parametro t. Diventeranno importanti soprattutto con l’uso degli integrali, per cui √® opportuno approfondire l’argomento.

In questa lezione vedremo quali sono le formule parametriche, come si dimostrano e in quali tipi di esercizi di trigonometria vanno utilizzate. Per la dimostrazione è importante ricordare le formule di duplicazione del seno e del coseno, perché si parte proprio da queste ultime.

Formule parametriche tabella

Formule parametriche seno

formule-parametriche-seno

Formule parametriche coseno

 

formule-parametriche-coseno

Formule parametriche tangente

formule-parametriche-tangente

Per entrambe vale che tg(őĪ/2)=t

Le formule che hai appena visto vengono chiamate parametriche¬†perch√© prevedono al loro interno l’uso di un parametro t. Queste ci permettono di esprimere il seno e il coseno di un arco in funzione razionale della tangente dell’arco met√†. Esse sono valide solo per:

formule-parametriche-condizioni

 

Dimostrazione formule parametriche seno

Non √® importa che il tuo professore a scuola le abbia studiate o meno. E’ il caso almeno di leggere la dimostrazione delle formule parametriche perch√© potrebbero servirti in futuro. Iniziamo subito con il seno partendo dalle formule di duplicazione.

sen2őĪ=2senőĪcosőĪ

Andiamo a sostituire¬†őĪ/2 al posto di¬†őĪ per ottenere quindi:

sen2őĪ=2sen(őĪ/2)cos(őĪ/2)

e poich√© vale sen¬≤őĪ+cos¬≤őĪ=1 ‚Üí¬†sen¬≤(őĪ/2)+cos¬≤(őĪ/2)=1

possiamo sostituire ancora:

formule-parametriche-dimostrazione-1

 

da cui, dividendo numeratore e denominatore per cos¬≤őĪ/2 otteniamo:

formule-parametriche-seno-2

Ricordi la definizione di tangente di un angolo? E’ il seno fratto il coseno. Per cui abbiamo:

formule-parametriche-seno-dimostrazione

Abbiamo così dimostrato le formule parametriche per il seno.

Dimostrazione formule parametriche coseno

La dimostrazione è del tutto analoga a quella utilizzata per il seno. Quindi si parte da quelle di duplicazione:

formula-parametrica-coseno-dimostrazione

Dividiamo numeratore e denominatore per il coseno al quadrato di¬†őĪ/2. Otteniamo quindi:

formule-parametiche-coseno-dimostrazione

Esercizi sulle formule parametriche

Sei pronto a questo punto per provare qualche esercizio? In questa parte della lezione ci concentriamo ora su qualche esempio svolto e commentato, così da aiutarti con la risoluzione.

Esempio 1

Sapendo che tgőĪ=1/3, determiniamo nel modo pi√Ļ semplice sen2őĪ e cos2őĪ.

Per le formule parametriche si ha:

formule-parametriche-esercizi-1

formule-parametriche-esercizio-1

Commento:¬†l’esercizio √® piuttosto semplice. Il metodo utilizzato per risolverlo √® stato quello di moltiplicare gli angoli per due. Quindi invece di considerare t come la tangente di őĪ/2, abbiamo lasciato l’angolo come őĪ.

Esempio 3

Esprimiamo la seguente espressione come funzione razionale di un’unica variabile.

esercizio-formule-parametriche

Ponendo tg őĪ/2=t possiamo quindi scrivere:

formule-parametriche-esercizi-svolti

Conclusioni

Si conclude così la lezione sulle formule parametriche. Come hai potuto notare, si tratta di una semplice formula che purtroppo va imparata a memoria ma, fidati, ti servirà soprattutto quando ti ritroverai a risolvere gli integrali. Inoltre non è particolarmente difficile da memorizzare.

Per qualsiasi dubbio o curiosità ti invitiamo a scriverci un messaggio utilizzando la nostra pagina contatti, o lasciando un commento sotto.

 

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