Teorema di Pitagora formula con dimostrazione ed esempi

La formula del Teorema di Pitagora riguarda i triangoli rettangoli e permette di calcolare uno dei lati avendo a disposizione gli altri due. Conoscendo infatti la misura dei due cateti si può calcolare l’ipotenusa. Utilizzando sempre il teorema di Pitagora, formula inversa, si può calcolare la misura di uno dei cateti, avendo a disposizione ipotenusa e l’altro cateto.

Teorema di Pitagora formula

i2=c12+c22

Questa è la formula che si utilizza generalmente nello svolgimento degli esercizi e deriva direttamente dall’enunciato del teorema di Pitagora: “il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree costruiti sui lati dei cateti”. Applicando la definizione alla lettera dovremmo disegnare:

teorema-pitagora-formula

Consideriamo il triangolo rettangolo disegnato in giallo in figura e composto dai cateti a e b e dall’ipotenusa c. Applichiamo l’enunciato alla lettera: l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa (cioè AQUAD_IP) ha l’area pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti (AQUAD_CAT1 e AQUAD_CAT2). Ricomponendo la formula mettendo le lettere dalla figura, possiamo scrivere:

Ac=Aa+Ab

Ricordandoci che l’area del quadrato si calcola semplicemente come lato al quadrato, possiamo quindi scrivere:

c2=a2+b2

Abbiamo così ricavato la formula del Teorema dai Pitagora che utilizzeremo per svolgere gli esercizi di geometria.

Teorema di Pitagora formula inversa

Come per ogni formula matematica, anche quella di Pitagora può essere rigirata a nostro favore in caso di necessità. Questo vuol dire che potremo utilizzarla per calcolare non più l’ipotenusa avendo i due cateti, ma per calcolare un cateto avendo ipotenusa e l’altro cateto.

Immaginiamo di avere il generico triangolo rettangolo di lati:

  • i = ipotenusa
  • c = cateto minore
  • C = cateto maggiore
  1. c2=ip2C2
  2. C2=ip2-c2

Formule Teorema di Pitagora complete

Prima di iniziare ad esercitarci, facciamo un breve riepilogo, schematizzando le formula fino ad ora individuate.

formule-teorema-pitagora-tabella

Nelle formule del Teorema di Pitagora come puoi vedere è semplicemente stata applicata una radice quadrata ad entrambi i membri, cioè a sinistra e destra dell’uguale. Grazie a questo semplice passaggio algebrico, come puoi notare dalle formule, avendo a disposizione due qualsiasi lati di un triangolo rettangolo, è possibile calcolare il terzo.

Dimostrazione della formula del Teorema di Pitagora

Non esiste un’unica dimostrazione del Teorema di Pitagora, ma sono addirittura centinaia. Da quella di Perigal del 1873 a quella di Tempelhoff del 1769 o di Nassir del 1594 … alcune davvero si perdono nella storia. Noi ve ne proponiamo una semplice e creativa, proposta da James Garfield nel 1876 e dopo vi racconteremo anche un aneddoto interessante su come è arrivato a questa dimostrazione.

dimostrazione-formula-teorema-pitagora

Osserviamo l’immagine (fonte Politecnico di Torino) e procediamo per step. In breve arriveremo a dimostrare il Teorema di Pitagora.

  • Per prima cosa disegna su un foglio un triangolo rettangolo ABC di dimensioni generiche.
  • Disegna un triangolo rettangolo isoscele partendo dall’ipotenusa BC. Il triangolo sarà BCE (quello bianco in figura).
  • Prolunga il lato AC fino a quando non incontri la perpendicolare che parte da E.

Analizziamo i triangoli ABC e CDE, notiamo che:

  • il lato BC è uguale al lato EC (perché è un triangolo rettangolo isoscele, per cui i cateti sono uguali)
  • l’angolo ECD=180°-BCE-BCA → ECD=180°-90°-BCA → ECD=90°-BCA (per differenza da un angolo piatto)
  • l’angolo CED=180°-EDC-ECD → CED=180°-90°-(90°-BCA) → CED=BCA (perché la somma degli angoli di un triangolo è 180°)
  • I lati opposti ad angoli opposti sono uguali per cui AB=CD (che in figura sono indicati con x)
  • Ne consegue che CA=ED (che in figura sono indicati con y)

Abbiamo dimostrato che i triangoli azzurri sono uguali. Analizziamo la figura ABDE, si tratta di un trapezio rettangolo dove l’altezza è AD (x+y) e le basi sono AB (x) e DE (y).

L’area del trapezio rettangolo è A=(b+B)xh/2 → A=(x+y)(x+y)/2

L’area del trapezio può anche essere calcolata come somma dell’area del triangolo bianco più l’area dei due triangoli blu (che sono uguali), cioè: A=z2/2+2(xy)/2

Poniamo l’uguaglianza tra le due formule delle aree per trovare:

(x+y)(x+y)/2=z2/2+2(xy)/2

Moltiplichiamo tutto per 2 per ottenere:

(x+y)(x+y)=z2+2xy

Portiamo 2xy a sinistra e eseguiamo la moltiplicazione:

x2+y2+2xy-2xy=z2

x2+y2=z2

Abbiamo così ottenuto la dimostrazione della formula del teorema di Pitagora.

Applicazione della formula di Pitagora – esempio

Esempio 1) Calcolare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo in cui i cateti sono uguali 4 e 5 cm.

Semplicemente applichiamo la formula del teorema di Pitagora:

calcolo-ipotenusa-pitagora

dove
c = cateto minore = 4 cm

C = cateto maggiore = 5 cm

i = √(42+5)=√(9+16)=√25

i=5

Esempio 2) Dato il triangolo isoscele di perimetro 64 cm e base 24 cm. Calcolare l’area del triangolo.

Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali possiamo riscrivere la formula del perimetro come:

p=l1+l2+l3 dove l2=l3

p=l1+2l2

Poiché abbiamo il perimetro e un lato applichiamo la formula inversa:

2l2=p-l1=64-24=40 cm e dividendo tutto per 2 otteniamo…

l2=20 cm

triangolo-isoscele-pitagora

Abbiamo così trovato tutti i lati del triangolo isoscele. Possiamo calcolarne l’area utilizzando la formula di Erone oppure dividere il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli semplicemente tracciando l’altezza. Ci calcoliamo l’area di ciascuno di questi due triangoli e poi moltiplichiamo per 2.

Applichiamo la formula del Teorema di Pitagora (la n2 vista sopra) e calcoliamo l’altezza come il cateto del triangolo rettangolo AHC. Dai dati in nostro possesso sappiamo che:

AC=20 cm

AB=24 cm → AH=AB/2=12 cm

C=√(i2-c2)=√(202-122)=√400-144=√256=16

CH=16 cm

L’area del triangolo rettangolo AHC è quindi bxh/2 cioè:

AAHC=(16×12)/2= 96 cm2

Moltiplichiamo per 2 per ottenere l’area totale ABC

AABC=96×2=192 cm2

Curiosità sulla formula del Teorema di Pitagora

James A. Garfield fu il ventesimo presidente degli Stati Uniti. Fu eletto nel 1880 e sin da subito si dimostrò un convinto anti-schiavista, avviando una campagna contro la corruzione politica. Ciò gli causo l’astio di numerosi nemici e fu sparato con una pistola pochi mesi dopo essere stato eletto. Morì alcuni giorni dopo.

Egli riusci a trovare, in uno dei suoi momenti di svago, la brillante dimostrazione del teorema di Pitagora che presentò ai suoi colleghi del Congresso dicendo: “Pensiamo che con questa dimostrazione matematica possiamo trovare d’accordo tutti i deputati, indipendentemente dal loro credo politico”.

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