Divisioni tra polinomi – come si fanno?

La divisione tra polinomi si esegue attraverso una tecnica basata su pochi semplici passaggi che portano rapidamente a calcolare quoziente e resto. In questa lezione vedremo come si fa la divisione tra polinomi con una spiegazione passo-passo, cos√¨ da rendere il tutto pi√Ļ semplice e chiaro per lo studente.

Per comprendere questa lezione, soprattutto la parte che riguarda le lettere, è importante conoscere le proprietà delle potenze. In particolare, quando divido due elementi con coefficienti letterali, gli esponenti si sottraggono. Vedremo comunque meglio negli esercizi questo aspetto.

La regola generale da tener presente per calcolare la divisione di polinomi è:

A(x):B(x)=Q(x)√óB(x)+R(x)

Quindi facendo dividendo i due polinomi A e B si ottiene il polinomio Q detto quoziente a cui va moltiplicato il divisore B e si somma infine il resto R. Vediamo nella pratica come si fanno i calcoli.

Divisioni tra polinomi e monomi

La divisione polinomiale pi√Ļ semplice riguarda un polinomio da dividere per un monomio. In questo caso semplicemente¬†semplicemente si applica la propriet√† distributiva della divisione. Cos√¨ come siamo stati abituati con le moltiplicazioni tra polinomi, √® sufficiente dividere ciascun termine del polinomio per il monomio.

Esempio 1

Vediamo subito un esempio su come si fa la divisione:

divisioni-tra-polinomi-e-monomi-a

COME LO ABBIAMO RISOLTO:

  1. Il primo termine del polinomio va diviso per il monomio divisore → (8a5b) : (-4a²b) = -2a³
  2. Si passa a questo punto al secondo termine → (-12a4b2 ) : (-4a²b) = +3a²b
  3. Si divide l’ultimo termine del polinomio ‚Üí (4a¬≥b¬≥):¬†(-4a¬≤b) = -ab¬≤

Esempio 2

In un secondo esercizio vediamo come si fanno le divisioni tra polinomi con frazioni. Non cambia nulla, per risolvere eventuali somme è importante solo che tu ricordi come si calcola il minimo comune multiplo.

moltiplicazione-tra-polinomi

Come puoi vedere, nel caso in cui ci siano delle frazioni, il divisore B si riscrive invertendo numeratore e denominatore. In pratica vale la regola:

divisione di polinomi-regola

Per cui proseguendo con i calcoli si possono fare delle semplificazioni fino a scrivere:

divisione-di-polinomi-frazioni

E’ importante, quando devi risolvere un esercizio con le¬†frazioni, che fai prima la divisione tra i segni, poi tra i numeri (abbiamo visto nella lezione sulle operazioni tra numeri relativi che si trasforma in divisione “capovolgendo” il divisore) e infine le lettere.

Divisione di polinomi: spiegazione passo passo

Questa regola possiamo dividerla in due parti: le divisioni tra polinomi con resto e senza resto. Si procede innanzitutto ordinando il polinomio in base al suo grado secondo le potenze decrescenti. Vediamo un esempio assieme commentando passo passo:

traccia-divisione-polinomi

Entrambi i polinomi sono già ordinati secondo le potene decrescenti di a. Si inizia dividendo il primo termine del dividendo (cioè 6a al cubo) per il primo del divisore (-3a al quadrato). Aiutiamoci con delle frecce:

divisione-polinomi-passo-1

OPERAZIONI SVOLTE:

6a³ : (-3a²) = -2a

Il risultato della prima operazione va in basso a destra (-2a) e fa parte del quoziente, cioè del risultato finale da ottenere. A questo punto moltiplichiamo questo valore ottenuto (-2a) per i tre monomi del divisore (-3a al quadrato +a e -1) e il risultato lo scriviamo sulla sinistra (cambiato di segno) sotto il polinomio (attenzione a mettere ben in colonna i termini con lo stesso grado).

divisione-polinomiale-2

OPERAZIONI SVOLTE

  • (-2a) ¬∑ (-3a¬≤) = +6a¬≤ ‚Üí cambio il segno ‚Üí -6a¬≤
  • (-2a) ¬∑ (+a) = -2a¬≤ ‚Üí cambio il segno ‚Üí +2a¬≤
  • (-2a) ¬∑ (-1) = +2a ‚Üí cambio il segno ‚Üí -2a

A questo punto sommo algebricamente i termini in colonna delle due righe, per ottenere:

moltiplicazioni-polinomi-passaggi

OPERAZIONI SVOLTE

  • +6a¬≥-6a¬≥ = 0
  • ¬†-5a¬≤+2a¬≤=-3a¬≤
  • +3a-2a=+a
  • Riporto il -1 nell’ultima riga.

Piccolo trucchetto per risolvere le divisioni: ¬†il primo termine risultante dalla somma algebrica sia sempre pari a 0! Se non dovesse trovarsi, c’√® qualche errore!

A questo punto si riparte nuovamente come dall’inizio. Cio√® si divide il primo termine del nuovo polinomio (-3a al quadrato) per il primo termine del polinomio divisore (-3a al quadrato) … Prosegui da solo e vedrai che alla fine il risultato che otterrai sar√†:

divisione-di-polinomi-senza-resto

Per cui il quoziente Q=-2a+1, mentre il resto R=0.

Come puoi vedere dalla figura il resto della divisione tra polinomi in questo caso è zero. Se avessimo trovato qualche monomio nella colonna di sinistra allora il resto sarebbe stato diverso da zero. In questo caso la divisione si dice esatta proprio dà resto nullo.

Esercizio svolto

Quella che stiamo per risolvere assieme √® una divisione tra polinomi con coefficienti letterali.¬†Ricordati che una delle tue lettere √® l’incognita (nel nostro esempio a) mentre l’altra va trattata come se fosse semplicemente un numero. Vediamo come si risolve la divisione tra questi due polinomi:

(a4+a4):(a+b)

SVOLGIMENTO

divisione-tra-polinomi-esercizio

Due cose importanti che non abbiamo ancora specificato:

  1. E’ necessario, come detto, mettere in ordine il polinomio con grado decrescente. La cosa importa √® che se il grado manca, come nell’esempio, occorre mettere uno 0. Senza questo trucchetto, la regola delle divisioni tra polinomi non funziona e il risultato dar√† sempre errore.
  2. Quando finisce la divisione? La divisione tra polinomi finisce quando nello spazio riservato al resto ¬†c’√® un monomio (o un polinomio) con grado inferiore al divisore. In questo caso √® uscito -b alla quarta. Considerato che il polinomio √® ordinato in base alla lettera, il grado √® quindi 0. Minore del grado del divisore (a+b) che rispetto alla lettera a ha grado 1. Per cui la divisione finisce qui.

Volendo fare la prova della divisione appena svolta è necessario moltiplicare il quoziente per il divisore e si somma a questo il resto: si deve ottenere il dividendo.

Un modo alternativo per risolvere le divisioni tra polinomi √® con Ruffini. Analizzeremo tuttavia il metodo di Ruffini in un’altra lezione. Per ora √® preferibile continuare¬†a fare pratica con qualche esercizio sulle divisioni tra polinomi.

Esercizi da risolvere

Eseguire le seguenti divisioni:

divisioni-tra-polinomi-esercizi

Vuoi esercitarti ancora? Ecco alcuni semplici¬†esercizi tra polinomi¬†semplici proposti¬†dall’Universit√† di Bologna. Se hai dubbi o se non riesci a risolvere gli esercizi di matematica che ti sono stati assegnati puoi contattarci. Siamo qui per aiutarti.

Gli esercizi proposti dagli studenti

lezione-di-matematica-pdfIn questo file abbiamo raccolto gli esercizi pi√Ļ difficili sulle divisioni di polinomi che ci sono stati segnalati dagli studenti. Sono risolti e commentati passo passo. Buon lavoro.

6 Commenti

  1. Samuel 13 Dic 2015
  2. Renato 12 Feb 2017
    • Paolo - admin 11 Mar 2017
  3. stella 18 Dic 2017
  4. Pase 27 Ago 2018
    • Paolo - admin 27 Ago 2018

Lascia un commento