Regola di Ruffini – il teorema per calcolare la divisione tra i polinomi

Viene chiamata Regola di Ruffini, metodo o anche Teorema di Ruffini. Si tratta di una tecnica piuttosto semplice che permette di eseguire la divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado. Non tutti hanno ben chiaro come si usa, per chi vediamo quali sono i casi che si possono presentare in classe durante lo svolgimento degli esercizi.

Regola di Ruffini – spiegazione introduttiva?

Divisibilità di un polinomio per un binomio

Come usare la regola di Ruffini

Spiegazione passo passo

Come trovare il divisore?

Esempio di applicazione di Ruffini

Un altro esercizio svolto

Esercizi su Ruffini


Che cos’√® la Regola di Ruffini?

La regola di Ruffini, nota¬†anche come metodo di Ruffini o teorema di Ruffini, √® un metodo per fare la divisione di un polinomio per un binomio generico. Il nome di questa tecnica fu elaborata per la prima volta dal matematico italiano Paolo Ruffini all’inizio del 1800.

Probabilmente hai gi√† visto la Regola di Ruffini su Wikipedia ma ci hai capito ben poco, troppe lettere e spiegazione troppo difficile. Vediamo come rendere tutto pi√Ļ facile.

Divisibilità di un polinomio per un binomio

E’ necessario fare una premessa: farai uso della regola di Ruffini¬†solo se il resto √® 0, cio√® se la divisione √® esatta. Per far ci√≤ √® necessario capire quando un polinomio √® divisibile per un binomio. Vediamo subito un esempio pratico:

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Per capire se il polinomi √® divisibile per il binomio dato dalla traccia e quindi se posso applicare il teorema di Ruffini, √® necessario sostituire il valore opposto di a (cio√® il numero del binomio cambiato di segno), all’interno del polinomio al posto della x.

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Poiché il valore ottenuto è diverso da zero, allora la divisione non è esatta e il numero individuato rappresenta proprio il resto. Puoi verificare svolgendo il calcolo come hai nella lezione sulle divisioni tra polinomi.

Come usare la regola di Ruffini?

La regola Ruffini si può applicare in tutte le divisioni tra un polinomio e un binomio, ma nella maggior parte degli esercizi di matematiche si svolgono al liceo e nelle successive lezioni sulle scomposizioni dei polinomi, si applica il metodo di Ruffini solo quando il resto sarà pari a 0.

La spiegazione passo passo – Come si fa Ruffini?

La spiegazione della Regola di Ruffini la vediamo passo passo con un esempio. Il primo step è quello di disegnare una piccolo schema in cui andiamo ad inserire tutti i coefficienti delle incognite, ordinate in senso decrescente.

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Prima di proseguire con il metodo, vediamo come trovare il divisore con Ruffini.

Come trovare il divisore?

Mentre il primo coefficiente (1) può essere direttamente trasportato nel rigo in basso, la domanda che dobbiamo porci è cosa inserire a sinistra? Cioè quale sarà il numero per cui andremo ad effettuare la divisione? In questa caso abbiamo già il binomio divisore (x-1), ma quando dovremo affrontare le scomposizioni, bisogna andare per tentativi e verificare la divisibilità del polinomio per quel binomio. Infatti molti studenti ci chiedono proprio come trovare il divisore con Ruffini?

Immaginiamo di non avere ancora il divisore ma di doverlo individuare. E’ buona regola andare a vedere il termine noto del polinomio (cio√® -1) e provare la divisibilit√† per tutti i suoi sottomultipli, con entrambi i segni. In questo caso potremo fare solo due tentativi prima di trovare il divisore, cio√® +1 e -1.

Andando a sostituire -1 al posto della x nel polinomio dividendo otteniamo -1-1=-2 (divisione con resto)

Andando a sostituire +1 al posto della x nel polinomio dividendo, otteniamo +1-1=0 cioè la divisione è esatta. In base al numero trovato, cioè +1, si costruisce il divisore cambiandogli il segno e quindi diventa (x-1).

Il numero cos√¨ individuato andr√† inserito al posto del punto interrogativo cerchiato in rosso nella precedente figura. Visto che nell’esercizio ci viene gi√† dato il divisore non abbiamo questo problema.

Teorema di Ruffini esercizi

Proseguiamo ora con il nostro esempio inserendo il divisore al giusto posto.

spiegazione-regola-di-ruffini-esempio-svolto

Cosa √® stato fatto? Il primo 1 in alto √® semplicemente traslato in basso, poi moltiplicato per il +1 a sinistra e il risultato scritto poco pi√Ļ a destra (basta seguire le frecce rosse). Infine si √® fatta l’addizione¬†0+1 per ottenere cos√¨ -1.

Riepilogando: si fa la moltiplicazione con il divisore a sinistra e l’addizione con il numero in alto. Attenzione: sono operazioni con i numeri relativi quindi non dimenticarti i segni!

Si procede poi sempre allo stesso modo:

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Avendo ottenuto il resto pari a 0, nel caso in cui stiamo risolvendo una scomposizione, vuol dire che abbiamo quasi terminato. Se stiamo invece facendo una semplice divisione tra polinomi con Ruffini allora il resto è per noi poco importante.

regola-di-ruffini-soluzione

Ai coefficienti ora individuati occorre associare le incognite. Basta prendere il grado del polinomio, 5 nel nostro esempio, abbassarlo di uno e poi affiancarlo ai vari coefficienti.

Un altro esercizio svolto

Il procedimento, come hai potuto vedere non è difficile, ma seguendo meccanicamente il metodo che ti abbiamo illustrato, potrai risolvere le divisioni con Ruffini in maniera semplice e senza commettere errori. Proviamo a fare un altro esempio sulla Regola di Ruffini:

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Data la traccia costruiamo subito la tabella per applicare Ruffini inserendo, nella riga in alto, i coefficienti del polinomio ordinati per grado (aggiungendo lo 0 per ogni termine assente). In basso riportiamo l’1 perch√© il primo termine si riporta sempre in basso mentre sulla sinistra prendiamo il termine noto del binomio divisore cambiandogli il segno.

La regola è sempre la stessa: i numeri in basso si moltiplicano a sinistra e si sommano algebricamente sulla verticale. Ecco quello che ne risulta:

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Abbiamo così ottenuto una soluzione che ha resto R=12 mentre il polinomio dividendo sarà x al quadrato Р5 x +10.

Esercizi su Ruffini

Per completare questa nostra spiegazione della regola¬†di Ruffini¬†e rendere la lezione ancora pi√Ļ semplice, ti proponiamo qui una serie di esercizi da risolvere. Come sempre il nostro staff √® a tua disposizione in caso di dubbi: contattaci per qualsiasi problema.

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Esercizi con soluzione sulla Regola di Ruffini

2 Commenti

  1. ary 10 Mag 2017
  2. Paolo - admin 11 Mag 2017

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