La regola di Ruffini per la divisione di polinomi

La regola di Ruffini viene utilizzata in algebra per la divisione di un polinomio per un binomio di primo grado con la forma (x-a) o (x+a).

Regola di Ruffini

Ad esempio:

Metodo di Ruffini

Con il metodo di Ruffini, oltre alla divisione è possibile anche eseguire in maniera più agevole la scomposizioni di polinomi, soprattutto se questi hanno un grado superiore al secondo. Ne parleremo in una lezione specificamente dedicata alla scomposizione con Ruffini.

Come applicare la regola di Ruffini

PREPARA IL POLINOMIO DIVIDENDO

La prima cosa da fare è ordinare il polinomio con gli esponenti in modo decrescente. Parti dal grado massimo e vai a scendere. Nel caso in cui manca una potenza, ricordati che sul grafico, al suo posto, dovrai mettere 0.

DISEGNA UNA PICCOLA TABELLA

Proviamo ad esempio a risolvere proprio la divisione che abbiamo visto in alto e facciamolo commentando ogni singolo passaggio.

Qui andremo a scrivere tutti i coefficienti, ovvero la parti numeriche, dei monomi che compongono il polinomio da dividere. Come già anticipato, ogni volta che manca una potenza, inserirai al suo posto uno 0. Ricordati infine che il termine noto del polinomio (ovvero il numero che non è accompagnato alla x) va messo all’esterno.

Regola di Ruffini tabella

Nella parte bassa, sulla sinistra del grafico mettiamo il numero del binomio divisore cambiandogli il segno:

Ruffini regola

Iniziano a questo punto i calcoli veri e propri della divisione con Ruffini.

SI PORTA IL PRIMO COEFFICIENTE IN BASSO mantenendo il suo segno originale.

Divisione Ruffini

LA MOLTIPLICAZIONE: Si moltiplica il numero della riga in basso per il divisore. Il risultato lo si mette nella parte centrale del grafico nella colonna successiva.

Divisione ruffini spiegazione

ADDIZIONE DEI TERMINI IN COLONNA: possiamo fare la somma algebrica tra i due numeri. In questo caso abbiamo nella stessa colonna +3 e +1.

MOLTIPLICAZIONE COL DIVISORE: ripetiamo la moltiplicazione fatta 2 passaggi prima. Quindi il numero appena calcolato (+4) va moltiplicato per il divisore posto sulla sinistra (+1). Il risultato lo inseriamo nella riga centrale (+1)(+4)=+4

Moltiplicazione Ruffini

ADDIZIONE IN COLONNA: ancora una volta sommiamo algebricamente – quindi tenendo conto dei segni – i due numeri situati sulla stessa colonna.

Ruffini spiegazione 2

MOLTIPLICAZIONE CON IL DIVISORE: poiché siamo arrivati alla fine della nostra tabella, moltiplichiamo per l’ultima volta con il divisore per cui eseguiamo (-1)(+1)=(-1) che andremo a riportare sotto il termine noto.

Ruffini divisione polinomi

ADDIZIONE E CALCOLO DEL RESTO: sommando l’ultima colonna otteniamo il resto. In questo caso (+1)+(-1)=0 il resto è nullo.

Ruffini resto

NOTA: Nel caso in cui il resto sia zero, allora il divisore che abbiamo segnato a sinistra, cioè +1, si chiama zero del polinomio. Cioè vuol dire che andando ad inserire +1 al posto della x nel polinomio di partenza, il risultato è 0. Questo sarà molto importante nelle scomposizioni con Ruffini di cui si occuperemo in seguito e utilizzeremo quello che viene proprio chiamato come Teorema di Ruffini.

IL RISULTATO FINALE: i numeri in basso, posti sotto la riga centrale, sono i coefficienti del quoziente Q(x). Come si procede? Considera il grado del polinomio di partenza, in questo caso 3, visto che c’è un x al cubo, e abbassalo di 1.

Quindi da x al cubo (di grado 3 di partenza), mi ritrovo ora a x al quadrato (di grado 2 perché ho abbassato di 1 il grado).

Teorema di Ruffini
Ruffini Teorema

Divisione con Ruffini – esercizi

Svolgiamo qualche altro esercizio con il metodo di Ruffini così da fare un po’ di pratica assieme.

Esercizio 1

Il dividendo, ovvero il polinomio a sinistra, è composto da soli due termini. Come puoi notare mancano gli elementi di grado 3, 2,1, visto che non sono presenti x al cubo, x al quadrato e x.

Costruiamo quindi il grafico previsto dal metodo di Ruffini mettendo 0 al posto dei termini mancanti. Sulla sinistra mettiamo il divisore cambiato di segno: poiché c’è (x-2), il divisore diventa +2. Iniziamo subito portando il primo termine in basso.

Ruffini esempio

A questo punto moltiplichiamo il +1 che abbiamo portato in basso con il divisore +2 e il risultato lo mettiamo al centro. (+1)(+2)=+2

Teorema Ruffini Esercizio

Eseguiamo la somma algebrica tra i termini in colonna: 0+2=+2

Addizione regola Ruffini

Ripetiamo la moltiplicazione, quindi (+2)(+2)=+4 e lo riportiamo al centro dello schema.

Eseguiamo la somma tra 0 e +4 in colonna: il risultato è +4.

Moltiplichiamo ora (+4) per il divisore (+2)= +8

Regola di Ruffini a

Sommiamo ancora una volta i termini in colonna:0+8=8.

Teorema di Ruffini esercizio

Moltiplichiamo per l’ultima volta (+8)(+2)=+16. Sommandolo con il termino in colonna +1, otteniamo il resto.

Quindi dalla nostra divisione con Ruffini abbiamo ottenuto che il resto è uguale a +17, mentre invece il quoziente è:

Se questa lezione ti è stata utile e siamo riusciti a chiarire i tuoi dubbi o se hai qualche problema di cui vuoi parlarci, lasciaci un commento in basso. Ci aiuterai a crescere e a migliorare la qualità delle lezioni.

2 Commenti

  1. ary
  2. Paolo - admin

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