La scomposizione di polinomi con Ruffini

La regola di Ruffini viene utilizzata in algebra per la divisione di un polinomio per un binomio di primo grado con la forma (x-a) o (x+a).

Il metodo di Ruffini venne elaborato per la prima volta all’inizio del 1800 da Paolo Ruffini ed √® spesso utilizzata per le scomposizioni di polinomi.

Nonostante rappresenti spesso un problema per gli studenti durante i compiti, la Regola di Ruffini √® il metodo pi√Ļ semplice a cui ricorrere quando bisogna dividere o scomporre un polinomio di grado superiore al terzo.

Rispetto alle altre tecniche viste di scomposizione, come ad esempio i prodotti notevoli, il metodo di Ruffini √® infallibile ma pi√Ļ elaborato. Come vedremo ci sono pi√Ļ calcoli e passaggi da fare, anche se piuttosto semplici.

Regola di Ruffini passo passo

Ricerca la radice del polinomio

Per prima cosa bisogna individuare un numero che annulli il polinomio e che quindi ne sia anche sua soluzione. Dato ad esempio il generico polinomio nella forma:

regola-di-ruffini-metodo

Andremo a trovare un numero p/q, dove:

  • p √® un divisore del termine noto (a0)
  • q √® un divisore del primo coefficiente (an)

Si tratta dell’applicazione del teorema delle radici razionali. Cerchiamo di capire meglio questa prima parte con un esempio facile facile.

metodo-di-ruffini-1

Il termine noto è -6, mentre il coefficiente di grado massimo è 1. Per cui:

p/q=-6/1=-6

Quindi i possibili zeri del polinomio sono: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6.

Per capire quale utilizzare, semplicemente prendiamone uno alla volta e sostituiamolo all’interno del polinomio per verificare che dia risultato 0. Proviamo ad esempio a sostituire +1.

esempio-ruffini-1

Poiché il risultato non è 0, allora il valore +1 non va bene. Provando invece con +2, ecco cosa otteniamo:

ruffini-esempio-2

Poiché il valore +2 annulla il polinomio, allora abbiamo individuato la radice da utilizzare nel metodo di Ruffini.

Scomposizione Ruffini – applichiamo la regola

A questo punto scriviamo una piccola tabella in cui compaiono i coefficienti del polinomio e la radice appena individuata.

tabella-regola-ruffini

  • nel cerchio grigio c’√® il coefficiente del termine di grado 3
  • nel cerchio giallo c’√® il coefficiente del termine di grado 2
  • nel cerchio blu c’√® il coefficiente del termine di grado 1
  • nel cerchio arancione c’√® il coefficiente del termine di grado 0
  • in basso a sinistra si mette la radice appena trovata

Attenzione: i coefficienti sulla tabella vanno ordinati sempre in modo decrescente e se dovesse mancarne uno, allora bisogna mettere 0.

Le operazioni per la scomposizione con Ruffini

A questo punto si riporta il primo coefficiente in basso e lo si moltiplica per la radice.

regola-di-ruffini-1

ruffini-metodo

Quindi nel nostro esempio abbiamo svolto (+1)·(+2)=+2 e lo abbiamo posizionato al secondo spazio della riga centrale. A questo punto si sommano algebricamente il termine appena individuato con quello sovrastante e il risultato lo si scrive in basso.

regola-di-ruffini-2

A questo punto si ripete tutto: quindi moltiplico +4 e +2 per ottenere +8.

svolgimento-ruffini

Sommiamo algebricamente +8 con -5 per ottenere +3.

metodo-di-ruffini-svolgimento

Moltiplichiamo infine +3 e +3 per ottenere +6 che √® proprio l’opposto di -6 (il termine nel cerchio arancione) per cui dalla loro somma uscir√† 0.

come-si-fa-ruffini

Ruffini scomposizione – l’ultimo passaggio

Siamo arrivato all’ultimo passaggio. In base ai risultati ottenuti dobbiamo scrivere due polinomi che si moltiplicano.

  • Il primo √® un binomio del tipo (x-k) dove k √® la radice utilizzata. Poich√© nel nostro esempio k=-2, allora il binomio √® (k+2) ‚Üí da notare come il doppio segno meno diventi pi√Ļ.
  • Il secondo si ottiene abbassando di 1 il grado del polinomio iniziale. Nel nostro esempio il grado era 3, per cui ora diventa 2. Dalla tabella di Ruffini troviamo i coefficienti da utilizzare, cos√¨ come in figura.

risultato-regola-di-ruffini

Il risultato finale è quindi:

risultato-ruffini

Reiterare Ruffini

Arrivati a questo punto abbiamo due polinomi che si moltiplicano. Il primo è già di primo grado, per cui non può essere scomposto.

Il secondo fattore tra parentesi, invece, √® un polinomio di secondo grado, per cui pu√≤ essere ancora scomposto. Il modo pi√Ļ facile per farlo √® utilizzare la formula del trinomio caratteristico o provare a verificare se si tratta di quadrato di binomio.

Nel caso invece in cui, dalla scomposizione con Ruffini dovesse uscire un polinomio di grado 3 (o superiore), allora bisogna reiterare tutti i passaggi. Cioè in pratica bisogna applicare Ruffini di nuovo, fino a quando non si arriva ad ottenere un polinomio di grado 2 (o inferiore)

Quando si usa la Regola di Ruffini?

Divisione polinomiale

Nella prima parte di questa lezione abbiamo visto come il teorema di Ruffini possa essere utilizzato per le scomposizioni. In realtà questa regola può essere utilizzata anche per eseguire le divisioni tra un polinomio e un binomio del tipo (x+a) o (x-a).

In questo caso si evita la ricerca dello zero del polinomio perché ti viene già fornito un divisore. Proviamo a fare un esempio:

regola-di-ruffini-esempio

Data la traccia costruiamo subito la tabella per applicare Ruffini inserendo, nella riga in alto, i coefficienti del polinomio ordinati per grado (aggiungendo lo 0 per ogni termine assente). In basso riportiamo l’1 perch√© il primo termine si riporta sempre in basso mentre sulla sinistra prendiamo il termine noto del binomio divisore cambiandogli il segno.

La regola è sempre la stessa: i numeri in basso si moltiplicano a sinistra e si sommano algebricamente sulla verticale. Ecco quello che ne risulta:

regola-di-ruffini-esempio-svolto

Abbiamo così ottenuto una soluzione che ha resto R=12 mentre il polinomio dividendo sarà x al quadrato Р5 x +10.

Esempi scomposizioni Ruffini

Effettuare la scomposizione con Ruffini del seguente polinomio P(x).

scomposizione-con-ruffini

Osserviamo subito che manca il termine di primo grado, per cui nella tabella che andremo a disegnare dovremo inserire uno 0 al suo posto.

Il primo passo da fare è trovare lo zero del polinomio. Poiché il termine noto è -5 e il coefficiente del termine di grado massimo è 1, allora il divisore da considerare potrà essere uno tra:

D: (-5; +5; +1; -1)

Andiamo a sostituire uno alla volta i valori trovati nel polinomio fino a quando non otteniamo il risultato 0. Iniziamo dal pi√Ļ semplice: +1.

ruffini-scomposizioni

Il risultato è 0. Siamo fortunati perché +1 è proprio il numero cercato. Proseguiamo con il metodo di Ruffini ora:

scomposizioni-ruffini-esempi

Quindi otterremo:

scomposizioni-ruffini-svolte

Il primo polinomio risulta gi√† scomposto, mentre il secondo si potrebbe scomporre ulteriormente con il metodo di Ruffini. Risulta per√≤ molto pi√Ļ semplice utilizzare le altre regole delle scomposizioni viste per i polinomi di secondo grado.

Per approfondimenti ti consigliamo di consultare tutte le regole sulle scomposizioni di polinomi.

2 Commenti

  1. ary 10 Maggio 2017
  2. Paolo - admin 11 Maggio 2017

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