Minimo comune multiplo come si calcola – esercizi svolti ed esempi

Partendo dalla definizione di mcm, Impareremo come si calcola il minimo comune multiplo. troverai in questa lezione degli esercizi svolti e tanti suggerimenti per eliminare definitivamente ogni dubbio.

Gli argomenti della lezione


Introduzione

Nelle varie espressioni algebriche che hai risolto fino a questo momento abbiamo provato a risolvere operazioni con le frazioni, dando per scontato che sapessi come si calcola il minimo comune multiplo, un concetto che si impara in realt√† gi√† in aritmetica.

Molto spesso in realt√† i nostri studenti, soprattutto nei compiti in classe mostrano paura e molte difficolt√† su questo argomento perch√© non hanno ben chiaro come si calcola il minimo comune multiplo, per cui in questa lezione daremo una precisa definizione, svolgeremo assieme degli esercizi cos√¨ da non avere pi√Ļ problemi neanche quando in futuro applicheremo l’argomento alle equazioni e disequazioni.

Minimo Comune Multiplo definizione

Il minimo comune multiplo (si scrive anche mcm) √® il pi√Ļ piccolo numero che sia divisibile per tutti i numeri dati.

Che significa? Se io ho tre numeri, il mcm √®, tra i tanti possibili divisori, il pi√Ļ piccolo.

Immagino che la definizione di mcm da sola non sia riuscita a farti comprendere molto sull’argomento. E’ normale, non preoccuparti. Continua a leggere e vedrai che ti sar√† tutto pi√Ļ chiaro.

Come si calcola il minimo comune multiplo

Per calcolare il mcm si prendono i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente.

Con questa definizione sul calcolo mcm in matematica, che siamo sicuri imparerai col tempo a memoria, si fa però una premessa. Cioè che tu abbia già studiato e sappia fare la scomposizione in numeri primi.

Tornando alla nostra domanda principale, cio√® come si fa il minimo comune multiplo, il modo migliore per comprendere l’enunciato √® con degli esempi pratici. Proviamo ad esempio a calcolare il minimo comune multiplo tra 20 15 30.

Si inizia con la scomposizione in numeri primi dei tre dati da traccia. Per cui si ottiene:

come-si-calcola-il-minimo-comune-multiplo

Come si calcola il minimo comune multiplo?

A questo punto riepilogando ottenuti scomponendo i numeri in fattori primi, usando le potenze posso scrivere:

20=22x5

15=5×3

30=2x5x3

 

Completata la scomposizione in numeri primi, guardo ora solo i termini a destra dell’uguale, cio√® i fattori – ti ricordiamo che si chiamano cos√¨ “i numeri che sono moltiplicati tra loro”.

Il trucco che ci suggeriamo di darvi è di cerchiare sul foglio su cui vi esercitate i termini che contribuiscono al calcolo del mcm. Esattattamente come vedi nella prossima immagine.

come-si-calcola-il-minimo-comune-multiplo-1.2

Attenzione ai termini evidenziati!

Quali termini abbiamo cerchiato in rosso? Le regole sono semplici:

  • ogni fattore va cerchiato una sola volta, ecco perch√© il 5 e il 3 compaiono solo una volta con il cerchietto.
  • tra due fattori uguali si sceglie quello con il grado massimo – quindi tra 2 al quadrato e 2, si sceglie quello con la potenza pi√Ļ alta.

Se ti stai chiedendo, in tutto ciò, come si calcola il minimo comune multiplo, sappi che hai praticamente fino. Ti basta semplicemente moltiplicare i fattori che hai evidenziato e calcolare il risultato finale:

mcm=2x 5 x 3=60

L’esercizio √® cos√¨ concluso. Tornando un attimo alla definizione di mcm, abbiamo detto che questo √® che il pi√Ļ piccolo numero divisibile tra i tre assegnati. Immaginiamo infatti di voler trovare un numero che sia divisibile per 20, 15 e 30. Aiutandoci con una calcolatrice scopriamo che tra questi numeri il primo √® 60 – visto che 60 possiamo dividerlo sia per 20, sia per 15 sia per 30 – poi abbiamo 120, 180, eccetera. Il pi√Ļ piccolo di questi √® certamente 60, da cui la definizione di mcm.

A che serve il minimo comune multiplo?

La domanda √® certamente legittima, ma se hai gi√† avuto modo di affrontare un esercizio con le frazioni, avrai certamente notato che il mcm √® fondamentale per calcolare la sottrazione e la somma di frazioni. Ci servir√† inoltre, pi√Ļ avanti, quando dovremo risolvere le equazioni fratte e le disequazioni fratte, per cui √® importante che tu abbia capito bene l’argomento. Proprio per questa ragione, ti presentiamo ora altri esempi che possiamo risolvere assieme. Prendi carta e penna e seguici nei calcoli.

Minimo comune multiplo esercizi

Di seguito troviamo alcuni esempi per mettere in pratica la teoria vista fino a questo momento. Puoi trovare una raccolta di esercizi risolti a questo link: mcm e mcd esercizi e problemi svolti

Esempio 1

Calcolare il minimo comune multiplo dei numeri 270, 144 e 224.

Iniziamo come sempre a scomporre in fattori primi i numeri datici dalla traccia:

come-si-calcola-il-minimo-comune-multiplo-2

 

A questo punto mi scrivo in maniera pi√Ļ compatta i risultati ottenuti con la scomposizioni in numeri primi:

270=2 x 32 x 5

144=24 x 32

224=25 x 7

Prova cerchiare tu questa volta i fattori presi una sola volta con il massimo esponente. Dovrai così cerchiare 2 elevato a 5, 3 elevato a 2, infine 5 e 7 che compaiono senza potenze. Puoi così scrivere, per il calcolo del mcm, che:

mcm=25 x 33 x 5 x 7 = 30240

Per fare la verifica del minimo comune multiplo, basta che dividi il risultato finale, in questo caso 30.240, per i tre numeri dati dalla traccia. Se le tre divisioni escono tutte senza la virgola, allora il risultato è corretto.

Esempio 2

Quello che vi proponiamo di risolvere assieme, ora, √® un esercizio con semplici operazioni con i numeri relativi fratti, cos√¨ che sia chiaro a che serve il minimo comune multiplo, almeno in questa prima parte del programma:

+3/12 – 4/15 + 1=

Iniziamo calcolando il minimo comune multiplo tra i tre denominatori. NOTA BENE: se uno degli addendi non ha la frazione, è sottinteso che il denominatore sia 1.

+3/12 – 4/15 + 1/1=

Scompongono 12, 15 in numeri primi. 1 posso anche ignorarlo…

12=22 x 3

15=5 x 3

mcm=5 x 3 x 22 = 60

A questo punto risolvo la frazione inserendo un solo denominatore comune, il minimo comune multiplo appena calcolato, così da poter scrivere:

minimo-comune-multiplo-esempio

In questo esercizio in realt√† la seconda frazione, cio√® 3/12, poteva essere semplificata: dato che 12:3=4, avrei pi√Ļ comodamente scrivere al posto di 3/12, la frazione 1/4. Il risultato sarebbe stato comunque lo stesso, ma avrei ridotto i calcoli. Attenzione: prova sempre a semplificare le frazioni! Ti semplificher√† la vita…

Esempio 3

Un esercizio conclusivo pi√Ļ semplice: calcolare il minimo comune multiplo tra 50 e 150.

Questa volta lasciamo a voi la scomposizione in fattori primi con lo schema verticale, sar√† un buon allenamento. Noi vi indichiamo direttamente i risultati del calcolo:

50 = 2 x 52

150 = 2 x 52 x 3

Cerchia i termini utili per il calcolo del mcm così come abbiamo fatto negli esercizi precedenti e potrai così trovare:

mcm= 2 x 52 x 3

E’ vero che questo esercizio era pi√Ļ semplice, ma non era possibile risolverlo in maniera pi√Ļ rapida e diretta?

Calcolare il minimo comune multiplo in maniera diretta

Ecco un semplice trucco da ricordare per calcolare il minimo comune multipolo: verifica sempre che i numeri di cui vuoi calcolare il mcm siano tra loro divisibili. Il pi√Ļ piccolo dei due puoi anche ignorarlo!

Nel nostro esempio infatti avevamo 50 e 150. Ma 150:50=3. Questo significa che i due numeri sono tra loro divisibili. Possiamo così ignorare 50, per il calcolo del mcm. Ci resta solo 150. Il minimo comune multiplo è quindi 150.

E se avessimo avuto pi√Ļ numeri? Ad esempio 50, 70, 150? Nessun problema. Poich√© 150 √® divisibile per 50, quest’ultimo possiamo ignorarlo. Ma dato che 150 e 70 non sono tra loro divisibili allora il calcolo diretto si ferma. Dovremo ora solo calcolare il mcm tra 150 e 70 nella maniera vista sopra. Ad ogni modo, con questo semplice trucco, abbiamo ridotto notevolmente i calcoli da eseguire.

Esercizi sul mcm da risolvere

come-si-calcola-il-minimo-comune-multiplo-esercizi

Risolti questi esercizi, non dovremmo pi√Ļ avere problemi con le frazioni. Puoi a questo punto passare ad esercizi pi√Ļ complessi come le espressioni algebriche

Come sempre per dubbi o per chiarimenti, restiamo a tua completa disposizione. Contattaci!

8 Commenti

  1. Angela 1 Agosto 2016
    • Raffaele 26 Aprile 2018
    • Gioia Muscas 21 Settembre 2019
    • Paolo Calicchio 22 Settembre 2019
  2. Paolo - admin 1 Agosto 2016
  3. Stefano 16 Novembre 2016
  4. Rosanna 26 Marzo 2020

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