Quali sono le formule per il calcolo del fuoco della parabola? Qual è il metodo più semplice e rapido per calcolare i fuochi di una parabola? E’ possibile vedere qualche esempio o esercizio svolto? Grazie – Alessandro
Prima di vedere la formula da usare, andiamo a ripetere velocemente quanto già detto sui fuochi nella lezione generale sull’equazione della parabola. Che cos’è il fuoco? E’ quel punto che la cui distanza dal generico punto P della parabola è pari alla distanza dello stesso punto dalla direttrice. Quindi:
PF=D(F,d)
distanza fuoco dal punto P della parabola = distanza di P dalla retta direttrice
Formula del fuoco della parabola
Per calcolare il fuoco di una parabola negli esercizi è sufficiente avere a disposizione l’equazione della parabola. In particolare ci servono i tre coefficienti a, b, c. Ricordati però che a seconda della disposizione della figura negli assi cartesiani, possiamo avere una parabola ad asse orizzontale o verticale.
Fuoco parabola asse verticale
Data infatti la parabola di equazione:
y=ax²+bx+c=0
L’ordinata del fuoco ha un termine 4ac-b²… Te lo ricordi? Lo hai già studiato nelle equazioni di secondo grado quando abbiamo parlato del metodo del delta. Infatti, poiché:
Δ=b²-4ac
allora la formula del fuoco per la parabola può anche essere scritta come:
Fuoco parabola asse verticale
Vale quanto appena già detto nel caso in cui la parabola abbia asse parallelo all’asse x. In questo caso l’equazione diventa:
x=ay²+by+c=0
Mentre le coordinate del fuoco della parabola sono invertite:
Esempi sul calcolo del fuoco della parabola
Cominciamo a vedere qualche esempio così da capire come fare i vari calcoli.
Esercizio 1
Calcolare il fuoco della parabola con vertice nell’origine y=2x².
I tre coefficienti della parabola sono: a=2 b=0 c=0. Possiamo così sostituirli nella formula:
Come puoi notare tutti i fuochi di parabola con vertice nell’origine hanno la x pari a 0 e la y può essere semplificata. Possiamo così generalizzare e dire che in questi casi possiamo utilizzare, per il calcolo del fuoco, la formula:
Esercizio 2
Calcolare il fuoco della parabola di equazione y=-x²-2x+1/4
Come puoi vedere abbiamo scomposto l’esercizio in due parti. Abbiamo prima calcolato l’ascissa del fuoco e poi l’ordinata. In questo modo ci siamo semplificato i calcoli e abbiamo tenuto il foglio di lavoro più pulito e ordinato.
Esercizio 3
Trovare l’equazione della parabola avente il fuoco F(2;1) e il vertice V(2;-1)
Fino ad ora abbiamo visto i casi in cui data l’equazione, ci viene chiesto di trovare i fuochi della parabola. Ora siamo nel caso contrario. Dobbiamo calcolarne l’equazione, per cui abbiamo tre incognite y=ax²+bx+c=0, per cui abbiamo bisogno di tre dati. La traccia ci offre 4 coordinate (del fuoco e del vertice) di cui due uguali: ascissa di fuoco e vertice coincidono per cui i dati a disposizione sono 3.
Possiamo così scrivere un sistema di equazioni di primo grado:
Conclusioni
In questa lezione abbiamo imparato come trovare il fuoco della parabola. Abbiamo visto che si tratta di pochi semplici calcoli che difficilmente possono rappresentare un problema durante gli esercizi.
Approfondimenti: come trovare il vertice della parabola.