Equazione parabola nel piano cartesiano

La formula della parabola è un’equazione di secondo grado in cui la variabile dipendente è la x o la y a seconda di come è disposta nel piano cartesiano. In questa lezione vedremo il formulario completo che riguarda l’equazione della parabola, andando a studiare alcuni elementi geometrici caratteristici come fuoco, vertice, asse e direttrice.

Prima di vedere quali sono le equazioni della parabola ad esse di simmetria orizzontale o verticale, cerchiamo di dare una definizione concisa e chiara a questa figura. Che cos’è un parabola in geometria analitica?

Definizione di parabola

La parabola per definizione è il luogo dei punto del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice.

d= PF

equazione-parabola

 

cioè considerato il generico punto P appartenente alla parabola, la sua distanza dalla retta direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco.

Altri punti caratteristici e definizioni

  • Vertice: è il punto di minimo o massimo dell’equazione della parabola. Può anche essere definito come l’intersezione tra la parabola stessa e il suo asse di simmetria.
  • Asse di simmetria: è la retta che divide la parabola in due parti uguali.
  • Fuoco: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dalla direttrice.
  • Direttrice: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dal fuoco.

Equazione parabola parallela asse y

y=ax2+bx+c

Se la parabola è rivolta verso l’alto allora a>0, se la parabola è rivolta verso il basso a<0.

equazione-parabola-asse-y

Equazione del vertice

equazione-parabola-vertice

Equazione del fuoco

equazione-parabola-fuoco

Equazione della direttrice

equazione-parabola-direttrice

Equazione dell’asse di simmetria

equazione-parabola-asse


Equazione parabola parallela asse x

equazione-parabola-asse-x

 

x=ay2+by+c

Equazione del vertice

equazione-parabola-vertice-2

Equazione del fuoco

equazione-parabola-fuoco-2

Equazione della direttrice

equazione-parabola-direttrice-2

Equazione dell’asse di simmetria

equazione-parabola-asse-2


Dimostrazione equazione parabola

Per scrivere l’equazione della parabola, si considera la direttrice parallela all’asse x. Per cui y=d è l’equazione della direttrice e F(p,q) il fuoco della parabola. Se P(x,y) è il suo generico punto, applicando la definizione di parabola, l’equazione si può dimostrare scrivendo:

equazione-parabola-dimostrazione

A questo punto si pongono i vari coefficienti di x2, x e termine noto pari ad a,b e c per ottenere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.

y=ax2+bx+c

Casi particolari

Nel caso in cui b=c=0 e a=1, l’equazione della parabola diventa y=ax2+bx+c → y=ax2  che è la parabola con vertice nell’origine, asse di simmetria verticale e rivolta verso l’alto.

Come disegnare una parabola

Così come per disegnare una retta sono sufficienti 2 punti, per disegnare una parabola ne bastano 3. A partire dall’equazione della parabola y=ax2+bx+c, si può calcolare subito il vertice (per il quale passa verticalmente l’asse di simmetria) e poi un punto. Di questo punto si disegna la simmetrica rispetto all’asse. Congiungendo i 3 punti si ottiene la parabola. Vediamo un caso concreto.

ESEMPIO:

Rappresentare graficamente la parabola di equazione: y=2x2-5x-3

La parabola, che ha asse di simmetria verso verticale, è rivolta verso l’alto perché a=2>0. Possiamo così concentrarci sul calcolo delle coordinate del vertice.

equazione-parabola-vertice

Calcolo a questo punto un generico punto appartenente alla parabola imponendo un valore a mia scelta alla x. Per esempio per x=0 (troverò così l’intersezione con l’asse y) y=2x2-5x-3 → y=-3 → Il punto è A(0;-3) che riportiamo nel piano cartesiano.

disegnare-equazione-parabola

L’asse di simmetria è verticale (perché a>0) e passa sempre per V quindi possiamo già disegnarlo (lo vedi tratteggiato in rosso in figura). Con un righello misuriamo la distanza dal punto A all’asse di simmetria (nell’immagine questa distanza è indicata in verde con la lettera d). Abbiamo ottenuto così il punto A’. Unendo i tre punti (AA’V) otterremo una parabola…

parabola-equazione-graficoConclusioni

In questa prima lezione abbiamo imparato a riconoscere e disegnare l’equazione di una parabola con asse orizzontale o verticale. In quest’ultimo esercizio abbiamo inoltre visto un elemento che ci accompagnerà nella risoluzione di esercizi più complessi: la condizione di appartenenza.

Vedremo ad esempio, nelle prossime lezioni, come calcolare l’equazione della parabola per 3 punti o come sfruttare le condizioni di tangenza. Intanto come esercizio di riepilogo per quanto imparato oggi, prova a risolvere il seguente problema.

Determinare l’equazione della parabola avente fuoco F(1;-2) e direttrice y=-4. Determina anche vertice e asse.

Risultato: y = x²/4 – x/2 – 11/4

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