La formula della parabola è un’equazione di secondo grado in cui la variabile dipendente è la x o la y a seconda di come è disposta nel piano cartesiano. In questa lezione vedremo il formulario completo che riguarda l’equazione della parabola, andando a studiare alcuni elementi geometrici caratteristici come fuoco, vertice, asse e direttrice.
Prima di vedere quali sono le equazioni della parabola ad esse di simmetria orizzontale o verticale, cerchiamo di dare una definizione concisa e chiara a questa figura. Che cos’è un parabola in geometria analitica?
Definizione di parabola
La parabola per definizione è il luogo dei punto del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice.
d= PF
cioè considerato il generico punto P appartenente alla parabola, la sua distanza dalla retta direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco.
Altri punti caratteristici e definizioni
- Vertice: è il punto di minimo o massimo dell’equazione della parabola. Può anche essere definito come l’intersezione tra la parabola stessa e il suo asse di simmetria.
- Asse di simmetria: è la retta che divide la parabola in due parti uguali.
- Fuoco: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dalla direttrice.
- Direttrice: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dal fuoco.
Equazione parabola parallela asse y
y=ax2+bx+c
Se la parabola è rivolta verso l’alto allora a>0, se la parabola è rivolta verso il basso a<0.
Equazione del vertice
Equazione del fuoco
Equazione della direttrice
Equazione dell’asse di simmetria
Equazione parabola parallela asse x
x=ay2+by+c
Equazione del vertice
Equazione del fuoco
Equazione della direttrice
Equazione dell’asse di simmetria
Dimostrazione equazione parabola
Per scrivere l’equazione della parabola, si considera la direttrice parallela all’asse x. Per cui y=d è l’equazione della direttrice e F(p,q) il fuoco della parabola. Se P(x,y) è il suo generico punto, applicando la definizione di parabola, l’equazione si può dimostrare scrivendo:
A questo punto si pongono i vari coefficienti di x2, x e termine noto pari ad a,b e c per ottenere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.
y=ax2+bx+c
Casi particolari
Nel caso in cui b=c=0 e a=1, l’equazione della parabola diventa y=ax2+bx+c → y=ax2 che è la parabola con vertice nell’origine, asse di simmetria verticale e rivolta verso l’alto.
Come disegnare una parabola
Così come per disegnare una retta sono sufficienti 2 punti, per disegnare una parabola ne bastano 3. A partire dall’equazione della parabola y=ax2+bx+c, si può calcolare subito il vertice (per il quale passa verticalmente l’asse di simmetria) e poi un punto. Di questo punto si disegna la simmetrica rispetto all’asse. Congiungendo i 3 punti si ottiene la parabola. Vediamo un caso concreto.
ESEMPIO:
Rappresentare graficamente la parabola di equazione: y=2x2-5x-3
La parabola, che ha asse di simmetria verso verticale, è rivolta verso l’alto perché a=2>0. Possiamo così concentrarci sul calcolo delle coordinate del vertice.
Calcolo a questo punto un generico punto appartenente alla parabola imponendo un valore a mia scelta alla x. Per esempio per x=0 (troverò così l’intersezione con l’asse y) y=2x2-5x-3 → y=-3 → Il punto è A(0;-3) che riportiamo nel piano cartesiano.
L’asse di simmetria è verticale (perché a>0) e passa sempre per V quindi possiamo già disegnarlo (lo vedi tratteggiato in rosso in figura). Con un righello misuriamo la distanza dal punto A all’asse di simmetria (nell’immagine questa distanza è indicata in verde con la lettera d). Abbiamo ottenuto così il punto A’. Unendo i tre punti (AA’V) otterremo una parabola…
Conclusioni
In questa prima lezione abbiamo imparato a riconoscere e disegnare l’equazione di una parabola con asse orizzontale o verticale. In quest’ultimo esercizio abbiamo inoltre visto un elemento che ci accompagnerà nella risoluzione di esercizi più complessi: la condizione di appartenenza.
Vedremo ad esempio, nelle prossime lezioni, come calcolare l’equazione della parabola per 3 punti o come sfruttare le condizioni di tangenza. Intanto come esercizio di riepilogo per quanto imparato oggi, prova a risolvere il seguente problema.
Determinare l’equazione della parabola avente fuoco F(1;-2) e direttrice y=-4. Determina anche vertice e asse.
Risultato: y = x²/4 – x/2 – 11/4