Equazione parabola nel piano cartesiano

La formula della parabola √® un’equazione di secondo grado in cui la variabile dipendente √® la x o la y a seconda di come √® disposta nel piano cartesiano. In questa lezione vedremo il formulario completo che riguarda l’equazione della parabola, andando a studiare alcuni elementi geometrici caratteristici come fuoco, vertice, asse e direttrice.

Prima di vedere quali sono le equazioni della parabola ad esse di simmetria orizzontale o verticale, cerchiamo di dare una definizione concisa e chiara a questa figura. Che cos’√® un parabola in geometria analitica?

Definizione di parabola

La parabola per definizione è il luogo dei punto del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice.

d= PF

equazione-parabola

 

cioè considerato il generico punto P appartenente alla parabola, la sua distanza dalla retta direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco.

Altri punti caratteristici e definizioni

  • Vertice: √® il punto di minimo o massimo dell’equazione della parabola. Pu√≤ anche essere definito come l’intersezione tra la parabola stessa e il suo asse di simmetria.
  • Asse di simmetria: √® la retta che divide la parabola in due parti uguali.
  • Fuoco: la sua distanza da un generico punto della parabola √® uguale alla distanza dello stesso punto dalla direttrice.
  • Direttrice:¬†la sua distanza da un generico punto della parabola √® uguale alla distanza dello stesso punto dal fuoco.

Equazione parabola parallela asse y

y=ax2+bx+c

Se la parabola √® rivolta verso l’alto allora a>0, se la parabola √® rivolta verso il basso a<0.

equazione-parabola-asse-y

Equazione del vertice

equazione-parabola-vertice

Equazione del fuoco

equazione-parabola-fuoco

Equazione della direttrice

equazione-parabola-direttrice

Equazione dell’asse di simmetria

equazione-parabola-asse


Equazione parabola parallela asse x

equazione-parabola-asse-x

 

x=ay2+by+c

Equazione del vertice

equazione-parabola-vertice-2

Equazione del fuoco

equazione-parabola-fuoco-2

Equazione della direttrice

equazione-parabola-direttrice-2

Equazione dell’asse di simmetria

equazione-parabola-asse-2


Dimostrazione equazione parabola

Per scrivere l’equazione della parabola, si considera la direttrice parallela all’asse x. Per cui y=d √® l’equazione della direttrice e F(p,q) il fuoco della parabola. Se P(x,y) √® il suo generico punto, applicando la definizione di parabola, l’equazione si pu√≤ dimostrare scrivendo:

equazione-parabola-dimostrazione

A questo punto si pongono i vari coefficienti di¬†x2, x e termine noto pari ad a,b e c per ottenere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.

y=ax2+bx+c

Casi particolari

Nel caso in cui b=c=0 e a=1, l’equazione della parabola diventa¬†y=ax2+bx+c ‚Üí¬†y=ax2¬†¬†che √® la parabola con vertice nell’origine, asse di simmetria verticale e rivolta verso l’alto.

Come disegnare una parabola

Cos√¨ come per disegnare una retta sono sufficienti 2 punti, per disegnare una parabola ne bastano 3. A partire dall’equazione della parabola¬†y=ax2+bx+c, si pu√≤ calcolare subito il vertice (per il quale passa verticalmente l’asse di simmetria) e poi un punto. Di questo punto si disegna la simmetrica rispetto all’asse. Congiungendo i 3 punti si ottiene la parabola. Vediamo un caso concreto.

ESEMPIO:

Rappresentare graficamente la parabola di equazione: y=2x2-5x-3

La parabola, che ha asse di simmetria verso verticale, √® rivolta verso l’alto perch√© a=2>0. Possiamo cos√¨ concentrarci sul calcolo delle coordinate del vertice.

equazione-parabola-vertice

Calcolo a questo punto un generico punto appartenente alla parabola imponendo un valore a mia scelta alla x. Per esempio per x=0 (trover√≤ cos√¨ l’intersezione con l’asse y)¬†y=2x2-5x-3 ‚Üí y=-3 ‚Üí Il punto √® A(0;-3)¬†che riportiamo nel piano cartesiano.

disegnare-equazione-parabola

L’asse di simmetria √® verticale (perch√© a>0) e passa sempre per V quindi possiamo gi√† disegnarlo (lo vedi tratteggiato in rosso in figura). Con un righello misuriamo la distanza dal punto A all’asse di simmetria (nell’immagine questa distanza √® indicata in verde con la lettera d). Abbiamo ottenuto cos√¨ il punto A’. Unendo i tre punti (AA’V) otterremo una parabola…

parabola-equazione-graficoConclusioni

In questa prima lezione abbiamo imparato a riconoscere e disegnare l’equazione di una parabola con asse orizzontale o verticale. In quest’ultimo esercizio abbiamo inoltre visto un elemento che ci accompagner√† nella risoluzione di esercizi pi√Ļ complessi: la condizione di appartenenza.

Vedremo ad esempio, nelle prossime lezioni, come calcolare l’equazione della parabola per 3 punti o come sfruttare le condizioni di tangenza. Intanto come esercizio di riepilogo per quanto imparato oggi, prova a risolvere il seguente problema.

Determinare l’equazione della parabola avente fuoco F(1;-2) e direttrice y=-4. Determina anche vertice e asse.

Risultato: y = x²/4 Рx/2 Р11/4

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