L’equazione della circonferenza in geometria analitica

La formula della circonferenza in geometria analitica può essere espressa in due diversi modi. Per determinarla in maniera univoca servono necessariamente 3 dati, perché proprio 3 sono le incognite di questa equazione. In questa lezione vedremo tutto quello che c’è da sapere sull’equazione della circonferenza. Metteremo infine in pratica quanto appreso attraverso degli esempi svolti e degli esercizi commentati e con soluzione.

Ovviamente prima di partire con la formula della circonferenza, è necessario fare un brevissimo richiamo su questa figura geometrica. Dagli studi delle scuole inferiori è noto che, per definizione:

La circonferenza per definizione è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro.

Questo significa che tutti i punti della circonferenza hanno la stessa distanza dal centro e tale distanza si chiama raggio. Il centro e il raggio sono proprio i due punti più importanti di questa figura anche in geometria analitica.

Formula circonferenza – le equazioni

formula-circonferenza

formula-circonferenza-generale

dove:

  • α, β sono le coordinate del centro C;
  • r è il raggio della circonferenza;
  • a, b, c sono tre coefficienti che influenza posizione e dimensione della circonferenza.

Quale formula sulla circonferenza bisogna usare?

Generalmente la prima equazione viene usata quando si conoscono il centro e il raggio. La seconda equazione si usa invece in tutti gli altri casi, come per esempio l’appartenenza di un punto alla circonferenza, la condizione di tangenza con una retta o un’altra qualsiasi curva…

Le formule per trovare raggio e centro

Mentre nella prima equazione il centro e il raggio si trovano anche a occhio visto che sono esplicitati, nell’equazione generale della circonferenza servono le due seguenti formule:

equazione-circonferenza-centro

formula-raggio-circonferenza

Con le ultime due formule puoi calcolare centro e raggio qualsiasi sia l’equazione generica della circonferenza. Ti saranno quindi molto utili nello svolgimento degli esercizi.

Dimostrazione della formula della circonferenza

Abbiamo detto che la distanza di un generico punto P di coordinate generiche x e y dal centro C di coordinate α e ß (alfa e beta) deve essere pari al raggio. Quindi i nostri dati sono:

  • P(x;y) – punto generico che appartiene alla circonferenza
  • C(α;ß) – centro della circonferenza
  • r – raggio della circonferenza

Calcolo la distanza tra due punti PC e la impongo pari al raggio.

equazione-della-circonferenza-dimostrazione

A questo punto sviluppo il quadrato di binomio presente nelle due parentesi per ottenere il seguente svolgimento.

dimostrazione-formula-circonferenza

Quella che vedi è l’equazione circonferenza generale, formula molto importante da ricordare e da cui poi ricavare raggio e centro grazie alla tabella che stai per vedere.

Equazione circonferenza, caratteristiche

Una domanda che spesso crea problemi agli studenti è come riconoscere l’equazione della circonferenza? Cioè come si fa a stabilire se un’equazione rappresenta una circonferenza oppure un’altra generica curva? Le condizioni che devono verificarsi sono le seguenti:

  • l’equazione è di 2° grado, sia nell’incognita x che y
  • PROBLEMA DI VERIFICA: prova a calcolare il raggio della circonferenza. Se è uguale a 0 oppure minore di 0, certamente non si tratta di una circonferenza! (utilizza questo criterio in tutti gli esercizi in cui ti viene chiesto di verificare se una determinata equazione è una circonferenza)
  • Infine guarda i coefficienti dei termini di secondo grado. Devono essere uguali, altrimenti potresti essere di fronte all’equazione dell’iperbole o dell’ellisse.

A questo punto analizziamo assieme quelli che sono i casi più ricorrenti e le difficoltà più frequenti nel risolvere gli esercizi sulla circonferenza.

Esercizi sull’equazione della circonferenza

Esercizio 1

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(0;0) e r=2.

(x-α)²+(y-β)²=r²

C=(α;β)=(0;0)

r=2

(x-0)²+(y-0)²=2²

x²+y²=4

Esercizio 2

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(0;3) e raggio=2.

(x-α)²+(y-β)²=r²

C=(α;β)=(0;3)

r=2

(x-0)²+(y-3)²=2²

x²+y²-6y+9=4 → Portiamo tutti i termini noti al primo membro

x²+y²-6y+9-4=0

x²+y²-6y+5=0

Esercizio 3

Stabiliamo quali delle seguenti equazioni rappresentano una circonferenza e in caso affermativo determinare centro e raggio.

a) x²+y²-2x+3y+4=0

Verifica 1: i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali.

Verifica 2: verificare che il raggio sia maggiore di 0.

formula-raggio-circonferenza

r=√(1+9/4-4) <0 NON E’ UNA CIRCONFERENZA

b) x²+y²+√2x-4y-5=0

Verifica 1: anche in questo caso i coefficienti di x² e y² sono identici (cioè pari a 1)

Verifica 2: il raggio deve essere maggiore di zero.

a²/4 + b²/4 – c = 1/2 +4 + 5 = 19/2 >0 → L’equazione rappresenta una circonferenza

Il centro è: C(-a/2;-b/2)=(-√2/2;2)

Il raggio è: r=√(19/2)=(√38)/2

Nell’ultimo passaggio è stata eseguita una razionalizzazione dei radicali.

c) x²+y²-2x-6y+10=0

Poiché a²/4 + b²/4 – c = 1 + 9 – 10 = 0, l’equazione è soddisfatta unicamente da x=1 e y=3. In poche parole significa che la circonferenza di raggio 0 non è altro che un punto. Per cui  NON è una circonferenza.

Esercizio 4

Determiniamo per quali valori di k, l’equazione x²+y²+2x-6y+k=0 rappresenta una circonferenza.

Deve essere  a²/4 + b²/4 – c >0

Quindi:

1-9-k>0

E’ una disequazione di primo grado molto facile da risolvere.

k<10

Lascia un commento