Formule di duplicazione, dimostrazione ed esercizi svolti

Le formule di duplicazione sono¬†formule trigonometriche¬†che permettono di ricavare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente del doppio di un angolo. Si incontrano spesso non solo nelle equazioni goniometriche ma anche nei programmi di matematica pi√Ļ avanzati. In questa lezione vedremo non solo quali sono le formule duplicazione ma anche come si dimostrano.

Nell’ultima parte della lezione ci dedicheremo a degli esempi svolti e commentati con il risultato finale. Per testare le proprie abilit√† sono stati inseriti anche alcuni esercizi sulle formule di duplicazione da risolvere a casa. Iniziamo subito…

Formule di duplicazione tabella

In questa tabella trovi il formulario completo con tutte le formule di duplicazione del seno, coseno, tangente e cotangente. In seguito troverai poi tutte le dimostrazioni.

Formula di duplicazione del seno

formule-duplicazione-seno

Formula di duplicazione del coseno

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Formula di duplicazione della tangente

formule-duplicazione-tangente

Formule di duplicazione della cotangente

formule-di-duplicazione-cotangente

Un consiglio per non sbagliare

Ricordati che sen2a √® diverso da 2sena.¬†Infatti tutto ci√≤ che √® all’interno dell’argomento del seno o del coseno non pu√≤ essere portato fuori in maniera cos√¨ semplice. Per rendertene conto basta che provi a fare il calcolo con a=30¬į.

duplicazione-formule-cosa-sono

Approfondimenti: quanto vale il seno di 60¬į

Dimostrazione delle formule di duplicazione

Dimostrazione della formula di duplicazione del seno

Si parte dalle formule di addizione e sottrazione. In particolare si sommano due angoli uguali.

formula-duplicazione-seno-dimostrazione

Dimostrazione della formula di duplicazione del coseno

L’unica differenza con quella del seno¬†sta nel fatto che in questo caso bisogna applicare la formula di addizione del coseno.

formula-duplicazione-coseno-dimostrazione

In questo caso possiamo notare che è possibile scrivere la formula di duplicazione del coseno in 3 modi equivalenti. Infatti, ricordando le relazioni fondamentali della trigonometria, vale:

relazione-fondamentale-trigonometria

Possiamo ricavare il seno e il coseno e sostituirle nella formula di duplicazione del coseno:

formula-duplicazione-coseno-regola

Abbiamo cos√¨ trovato tre modi diversi per esprimere le formule di duplicazione del coseno, tutta valide e che possiamo utilizzare a nostro piacimento a seconda della necessit√† e dell’esercizio da risolvere.

Dimostrazione della formula di duplicazione della tangente

Per dimostrare le formule di duplicazione della tangente, facciamo riferimento a quella che abbiamo considerato la dimostrazione della tangente di un angolo.

tangente-di-un-angolo

Inseriamo le formule di seno e coseno calcolate in precedenza all’interno della formula della tangente per ottenere:

duplicazione-tangente

Proviamo a questo punto a dividere sia il numeratore che il denominatore della frazione per il coseno al quadrato dell’angolo. In questo modo otteniamo:

tangente-duplicazione

Dimostrazione della formula di duplicazione della cotangente

Dimostrare la formula di duplicazione della cotangente è molto semplice, soprattutto se avete seguito la dimostrazione della formula di duplicazione della tangente.

Per questo motivo potete provare a farlo da soli ricordando che questa volta l’equazione da cui bisogna partire è cotg2a=cos2a/sen2a.

Esercizi svolti sulle formule di duplicazione

  • sen(2őĪ)-cosőĪ=0
    Applichiamo la formula di duplicazione del seno all’esercizio.

esercizio-svolto-formule-di-duplicazione

E’ stato sufficiente un¬†raccoglimento a fattor comune¬†e la risoluzione di due semplici equazioni trigonometriche.

esercizio-2-formule-duplicazione

Esercizi da risolvere

Prova ora a risolvere gli esercizi da solo. Ovviamente se ci sono problemi con la lezione o non riesci a svolgere i compiti di trigonometria assegnati a scuola, contattaci. Saremo lieti di aiutarti.

  • sen2a=1
  • cos2a=1

Una risposta

  1. Riccardo 6 Novembre 2018

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