Formule di duplicazione, dimostrazione ed esercizi svolti

Le formule di duplicazione sono una delle formule trigonometriche più importanti che capita spesso di utilizzare non solo nelle equazioni goniometriche ma anche nei programmi di matematica più avanzati. In questa lezione vedremo non solo quali sono le formule duplicazione ma anche come si dimostrano.

Nell’ultima parte della lezione ci dedicheremo a degli esempi svolti e commentati con il risultato finale. Per testare le proprie abilità sono stati inseriti anche alcuni esercizi sulle formule di duplicazione da risolvere a casa. Iniziamo subito…

› Formule di duplicazione

› Dimostrazioni delle formule di duplicazione

› Esercizi svolti

› Esercizi da risolvere


Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione, come le formule di bisezione, sono necessarie per risolvere le espressioni trigonometriche nel momento in cui la nostra funzione trigonometrica ha un 2 oppure 1/2 nell’argomento.

In particolare le formule di duplicazione si dimostrano partendo dalle le formule di addizione considerando che gli angoli a e b sono uguali:

formule-di-duplicazione

Ricordati che sen2a è diverso da 2senaInfatti tutto ciò che è all’interno dell’argomento del seno o del coseno non può essere portato fuori in maniera così semplice. Per rendertene conto basta che provi a fare il calcolo con a=30°.

duplicazione-formule-cosa-sono

Approfondimenti: quanto vale il seno di 60°

Formule di duplicazione tabella

In questa tabella trovi il formulario completo con tutte le formule di duplicazione del seno, coseno, tangente e cotangente. In seguito troverai tutte le dimostrazioni.

formule-di-duplicazione-tabella

Dimostrazione delle formule di duplicazione

Dimostrazione della formula di duplicazione del seno

Come abbiamo detto si parte dalle formule di addizione e sottrazione. In particolare si sommano due angoli uguali.

formula-duplicazione-seno-dimostrazione

Dimostrazione della formula di duplicazione del coseno

L’unica differenza con quella del seno sta nel fatto che in questo caso bisogna applicare la formula di addizione del coseno.

formula-duplicazione-coseno-dimostrazione

In questo caso possiamo notare che è possibile scrivere la formula di duplicazione del coseno in 3 modi equivalenti. Infatti, ricordando le relazioni fondamentali della trigonometria, vale:

relazione-fondamentale-trigonometria

Possiamo ricavare il seno e il coseno e sostituirle nella formula di duplicazione del coseno:

formula-duplicazione-coseno-regola

Abbiamo così trovato tre modi diversi per esprimere le formule di duplicazione del coseno, tutta valide e che possiamo utilizzare a nostro piacimento a seconda della necessità e dell’esercizio da risolvere.

Dimostrazione della formula di duplicazione della tangente

Per dimostrare le formule di duplicazione della tangente, facciamo riferimento a quella che abbiamo considerato la dimostrazione della tangente di un angolo.

tangente-di-un-angolo

Inseriamo le formule di seno e coseno calcolate in precedenza all’interno della formula della tangente per ottenere:

duplicazione-tangente

Proviamo a questo punto a dividere sia il numeratore che il denominatore della frazione per il coseno al quadrato dell’angolo. In questo modo otteniamo:

tangente-duplicazione

Dimostrazione della formula di duplicazione della cotangente

Dimostrare la formula di duplicazione della cotangente è molto semplice, soprattutto se avete seguito la dimostrazione della formula di duplicazione della tangente.

Per questo motivo potete provare a farlo da soli ricordando che questa volta l’equazione da cui bisogna partire è cotg2a=cos2a/sen2a.

Esercizi svolti sulle formule di duplicazione

  • sen(2α)-cosα=0
    Applichiamo la formula di duplicazione del seno all’esercizio.

esercizio-svolto-formule-di-duplicazione

E’ stato sufficiente un raccoglimento a fattor comune e la risoluzione di due semplici equazioni trigonometriche.

esercizio-2-formule-duplicazione

Esercizi da risolvere

Prova ora a risolvere gli esercizi da solo. Ovviamente se ci sono problemi con la lezione o non riesci a svolgere i compiti di trigonometria assegnati a scuola, contattaci. Saremo lieti di aiutarti.

  • sen2a=1
  • cos2a=1

Appunti a cura di Paolo Calicchio

Sono laureato in ingegneria con il massimo dei voti. Insegno matematica da oltre 15 anni e i miei studenti apprezzano tantissimo la chiarezza delle mie lezioni, sempre molto pratiche e spiegate in maniera un po' alternativa. Esercizimatematica nasce dalla voglia di condividere il mio metodo in matematica con tutti gli studenti d'Italia.
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