Tangente di un angolo e cotangente di un angolo

Una volta calcolati il seno e il coseno possiamo dare una definizione di tangente e cotangente di un angolo. In questa lezione troverai non solo la parte teorica ma anche una tabella con i valori di tangente e cotangente negli angoli più ricorrenti e alcuni esercizi svolti e commentati.

 Definizione di tangente di un angolo

Tangente di 90 gradi

Definizione di cotangente di un angolo

Cotangente di 90 gradi

Valori tangente e cotangente di angoli noti

Esercizi svolti e con soluzione


Definizione di tangente di un angolo

Definizione di tangente: dato un triangolo rettangolo, la tangente è una funzione che si usa in goniometria definita come il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo:

tangente-di-un-angolo

Guardiamo la circonferenza goniometrica e capiamo cosa vuol dire. Dal punto di vista geometrico la tangente dell’angolo a è il segmento AT riportato sul grafico.

tangente-di-un-angolo-grafico
Grafico della tangente di un angolo

Notiamo che abbiamo due triangoli rettangoli: OPP’ e il triangolo rettangolo OAT. Essendo due angoli simili possiamo scrivere una proporzione tra i cateti:

tangente-di-un-angolo-definizione
Tangente di un angolo definizione e costruzione

OP’: OA = P’P : AT

Dove ricaviamo AT che è proprio la tangente che stiamo cercando. Ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che:

tangente-circonferenza-goniometrica

dove: P’P = sena, OP’= cosa, OA = 1 perché raggio della circonferenza goniometrica. Quindi sostituendo:

tangente-formula

Ma inizialmente abbiamo notato che AT è la tangente dell’angolo a, quindi AT= tga. Ottenendo così la definizione di tangente:

tangente-seno-coseno
Formula di tangente in funzione di seno e coseno

Tangente di un angolo di 90 gradi

Vi hanno detto in classe o avete letto sul vostro libro che “La tangente di 90° non esiste”, ma piuttosto che imparalo a memoria capiamo cosa vuol dire: guardate il disegno della circonferenza goniometrica in cui abbiamo scelto due angoli a e a’.

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

tangente-di-90

Se chiamiamo le relative tangenti AB e AC notiamo che AB è molto piccola, AC è molto grande. Per il calcolo della tangente possiamo così dire che:

  • Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento AB diventa piccolo, fino ad annullarsi.
  • Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento AC diventa grande, fino a che le due rette diventano parallele e non si incontrano mai!

Ecco perché diciamo che è impossibile calcolare la tangente a 90°, non può esistere o meglio non esiste la tangente di

tangente-a-90

Con k si indicano numeri reali interi, cioè 0, 1, 2, 3, 4…

In questo modo racchiudiamo in una sola formula tutti gli angoli pari: a = 90°+0, a = 90° + 180°, a = 90° + 360°…

Se hai qualche dubbio sull’unita di misura degli angoli puoi dare uno sguardo alla lezione sulla misura gli angoli in radianti e gradi.

Cos’è la cotangente di un angolo?

Definizione di cotangente: la cotangente di un angolo è definita come il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo, o come il reciproco della sua tangente:cotangente-di-un-angoloPossiamo disegnare il grafico della cotangente dell’angolo a con il segmento  GF.

grafico-della-cotangente

Considerando che i due triangoli rettangoli OGF e OPP’ sono simili, possiamo scrivere la proporzione:

GF : OP’ = OG : PP’

E ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che OP’= cosa, P’P = sena e OG = 1 perché coincide con il raggio della circonferenza goniometrica.

formula-della-cotangente

E quindi la cotangente è il reciproco della tangente come dalla definizione:

tangente-e-cotangente
Relazione tra tangente e cotangente

Cotangente di un angolo di 90 gradi

Come fatto per la tangente, per capire il valore della cotangente a 90°, guardiamo il disegno: abbiamo ancora due angoli a e a’.

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

cotangente-sulla-circonferenza-goniometrica

Se chiamiamo le relative cotangenti GF e GE notiamo che:

GF è molto grande

GE è molto piccola

  • Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento GF diventa grande, fino ad essere una retta parallela all’asse delle x;
  • Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento GE diventa piccolo, fino a diventare nullo.

Praticamente accade il contrario di quello che abbiamo visto per la tangente e quindi possiamo dire che la cotangente non esiste se:

cotangente-di-90-gradi

E cioè diciamo che non è definita (assume valore infinito) la cotangente negli angoli pari: a = 0°, 180°, 360°…

Valori tangente e cotangente – Tabella con gli angoli noti

Ecco una tabella con i valori delle funzioni goniometriche tangente e cotangente in alcuni angoli notevoli.

tabella-tangente-cotangente
Valori tangente e cotangente

Con i valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, e quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

Esercizi svolti su tangente e cotangente

Ecco alcuni esercizi svolti utilizzando la tabella dei valori di tangente e cotangente:

tangente-e-cotangente-esercizi-svolti

Ora puoi mettere alla prova le tua conoscenze con gli esercizi con soluzioni su tangente e cotangente:

tangente-e-cotangente-esercizi-soluzioni

Per le soluzioni degli esercizi, dubbi o problemi il nostro staff è a vostra disposizione per chiarimenti o lezioni private: contattaci.

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