Distanza punto retta, esercizi svolti e dimostrazione

Per distanza punto retta si intende la formula grazie alla quale è possibile calcolare la distanza di un punto da una retta in geometria analitica. Per poterla applicare sono necessari:

  • le coordinate di un punto P
  • l’equazione della retta r.

Distanza punto retta

Definizione

Ecco alcune definizioni che si trovano sui libri di testo. Puoi scegliere quella che ritieni più semplice.

distanza-punto-retta

  • La distanza punto retta è la misura del segmento che dal punto P cade perpendicolarmente sulla retta r.
  • La distanza di un punto da una retta è la dimensione del proiezione ortogonale del punto P sulla retta r.
  • E’ la distanza minima tra il punto P e tutti i punti appartenenti alla retta r.

d(P,r)=min{d(P,R), con R∈r}

Distanza punto retta formula

In geometria analitica tutto ciò si traduce in una semplice formula. Dati quindi:

  • un punto di coordinate P(xP,yP);
  • l’equazione della retta implicita r: ax+by+c=0

distanza-di-un-punto-da-una-retta

Quini la distanza di un punto da una retta si calcola facendo il valore assoluto della somma dei prodotti delle coordinate dei punti per i coefficienti della retta, fratto la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della retta.

Alcuni suggerimenti

  • assicurati che l’equazione della retta sia nella forma implicita (cioè al secondo membro devi avere 0). Se il problema dovesse darti la forma esplicita, ricordati di trasformarla in implicita prima di calcolare la distanza punto retta.
  • il valore assoluto rende il numeratore positivo, per cui la misura della distanza sarà sempre un valore positivo. Se ci pensi è anche normale: come fanno due oggetti ad essere distanti tra loro ad esempio -100 metri?
  • applica la formula distanza aiutandoti con delle parentesi. Eviterai di fare degli errori riportando i segni.

Distanza punto retta dimostrazione

La dimostrazione della formula della distanza di un punto da una retta non è particolarmente complessa, ma si basa su quanto già studiato in precedenza. In genere non viene richiesta a lezione, ma la riportiamo per completezza per chiunque voglia approfondire.

dimostrazione-distanza-di-un-punto-da-una-retta-figura

Come procediamo? Sintetizziamo per punti:

  • La distanza punto retta è il segmento in figura indicato con PT. Considerando che P è un dato della traccia, posso trovare le coordinate del punto P attraverso l’intersezione tra le due rette r e r’ (quella in viola e quella in blu).
  • Poiché r viene data dalla traccia, devo poter calcolare r’ (in viola). Noto che questa passa per P ed è perpendicolare ad r (in blu). Questo perché la distanza punto retta è un segmento perpendicolare alla retta stessa.
  • Posso quindi calcolare r in viola come retta passante per un punto e con coefficiente angolare pari a m’=-1/m

Approfondimenti: il coefficiente angolare nelle rette perpendicolari

Iniziamo quindi a scrivere la formula della retta passante per un punto:

Dimostrazione distanza punto retta

A questo punto imponiamo la condizione di perpendicolarità, per cui:

Coefficiente angolare distanza punto retta

Possiamo a questo punto scrivere la formula della retta in viola r’.

Distanza punto retta dimostrazione

Poiché a, b, x0 e y0 sono noti, abbiamo così calcolato l’equazione della retta. Possiamo quindi intersecare le due rette per trovare T, scrivendo il sistema di equazioni:

Calcolo distanza punto retta

In questo modo possiamo trovare x e y, ovvero le coordinate del punto T. Basta a questo punto trovare la distanza tra i due punti PT e abbiamo risolto il problema.

Esercizi svolti

Esercizio 1

Calcolare la distanza punto-retta dove P(2,3) e r:x+y-1=0

Distanza punto retta esercizi

Questo primo esempio è particolarmente semplice, visto che basta applicare la formula vista sopra:

Esercizio distanza punto retta

Teoricamente l’esercizio potrebbe essere già concluso, ma dalle regole sui radicali sappiamo che è necessario rimuovere la radice quadrata dal denominatore, per cui dobbiamo eseguire la razionalizzazione, per cui moltiplico e divido per la radice di 2.

Esercizio distanza punto da una retta

L’esercizio n.1 è abbastanza banale, basta sostituire i dati nella formula vista in alto e il problema è risolto. Nella parte finale, vi abbiamo ricordato come si fa a razionalizzare una radice quadrata. Se dovessero esserci problemi su questi calcoli, ti consigliamo di riguardarti la lezione sulle radici.

  1. Calcolare la distanza di P(4,3) da r:y=2x-3 -> PROVA A RISOLVERLO COME ESERCIZIO PER CASA

SUGGERIMENTO: In questo secondo esercizio parti dall’equazione in forma esplicita della retta e trasformala in implicita. In questo modo ti riconduci al caso precedente, per cui abbiamo individuato la distanza punto-retta.

Esercizio 2

Calcola la distanza del punto P(0;6) dalla retta che passa per i punti A(2,3) e B(1/2;1)

Quello che si può subito notare è che la traccia ci chiede di calcolare la distanza tra punto e retta, ma non ci fornisce direttamente quest’ultima. Sappiamo solo che la retta r passa per i punto A e B. Quindi la prima operazione è quella di utilizzare la retta passante per 2 punti.

distanza-punto-retta-esercizi

A questo punto, avendo calcolato la retta, possiamo utilizzare le conoscenze apprese oggi. In particolare:

distanza-punto-retta-formula

Andiamo ad applicare la formula al nostro esercizio, per ottenere quindi:

distanza-punto-retta-esempio

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