Distanza punto retta, esercizi svolti e dimostrazione

Per distanza punto retta si intende la formula grazie alla quale è possibile calcolare la distanza di un punto da una retta in geometria analitica. Per poterla applicare sono necessari:

  • le coordinate di un punto P
  • l’equazione della retta r.

Definizione

Ecco alcune definizioni che si trovano sui libri di testo. Puoi scegliere quella che ritieni pi√Ļ semplice.

distanza-punto-retta

  • La distanza punto retta √® la misura del segmento che dal punto P cade perpendicolarmente sulla retta r.
  • La distanza di un punto da una retta √® la proiezione ortogonale del punto P sulla retta r.
  • E’ la distanza minima tra il punto P e tutti i punti appartenenti alla retta r.

d(P,r)=min{d(P,R), con R‚ąąr}

Distanza punto retta formula

In geometria analitica tutto ciò si traduce in una semplice formula. Dati quindi:

  • un punto di coordinate P(xP,yP);
  • l’equazione della retta implicita r: ax+by+c=0

distanza-di-un-punto-da-una-retta

Quini la distanza di un punto da una retta si calcola facendo il valore assoluto della somma dei prodotti delle coordinate dei punti per i coefficienti della retta, fratto la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della retta.

Alcuni suggerimenti

  • assicurati che l’equazione della retta sia nella forma implicita (cio√® al secondo membro devi avere 0). Se il problema dovesse darti la forma esplicita, ricordati di trasformarla in implicita prima di calcolare la distanza punto retta.
  • il valore assoluto rende il numeratore positivo, per cui la misura della distanza sar√† sempre un valore positivo. Se ci pensi √® anche normale: come fanno due oggetti ad essere distanti tra loro ad esempio -100 metri?

Dimostrazione

La dimostrazione della distanza di un punto da una retta non è particolarmente complessa, ma si basa su quanto già studiato in precedenza. In genere non viene richiesta a lezione, ma la riportiamo per completezza per chiunque voglia approfondire.

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Come dimostrare la distanza di un punto da una retta sul grafico

Data la retta generica r:ax+by+c=0, dobbiamo calcolare la distanza dal punto P(x0,y0). Questo vuol dire che dovrà passare una retta perpendicolare alla retta r e passante per P. Nella scorsa lezione abbiamo parlato di retta passante per un punto e abbiamo studiato la formula y-y0=m(x-x0).

distanza-punto-retta

Dimostrazione distanza di un punto da una retta

Una volta individuata l’equazione della retta s perpendicolare a r e passante per P, occorre mettere a sistema le due rette e trovare il loro punto di intersezione T. Infine si calcolano la distanza tra i due punti P e T e la dimostrazione √® conclusa.

Lasciamo il proseguo della dimostrazione, quindi i puri calcoli, come esercitazione a casa.

Esercizi svolti

Esercizio 1

Calcolare la distanza punto-retta dove P(2,3) e r:x+y-1=0

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Distanza di un punto da una retta – Esercizi Svolti 1

L’esercizio n.1 √® abbastanza banale, basta sostituire i dati nella formula vista in alto e il problema √® risolto. Nella parte finale, vi abbiamo ricordato come si fa a razionalizzare una radice quadrata. Se dovessero esserci problemi su questi calcoli, ti consigliamo di riguardarti la lezione sulle radici.

  1. Calcolare la distanza di P(4,3) da r:y=2x-3 -> PROVA A RISOLVERLO COME ESERCIZIO PER CASA

SUGGERIMENTO: In questo secondo esercizio parti dall’equazione in forma esplicita della retta e¬†trasformala in implicita. In questo modo ti riconduci al caso precedente, per cui abbiamo individuato la distanza punto-retta.

Esercizio 2

Calcola la distanza del punto P(0;6) dalla retta che passa per i punti A(2,3) e B(1/2;1)

Quello che si pu√≤ subito notare √® che la traccia ci chiede di calcolare la distanza tra punto e retta, ma non ci fornisce direttamente quest’ultima. Sappiamo solo che la retta r passa per i punto A e B. Quindi la prima operazione √® quella di utilizzare la retta passante per 2 punti.

distanza-punto-retta-esercizi

A questo punto, avendo calcolato la retta, possiamo utilizzare le conoscenze apprese oggi. In particolare:

distanza-punto-retta-formula

Andiamo ad applicare la formula al nostro esercizio, per ottenere quindi:

distanza-punto-retta-esempio

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