Distanza punto retta, esercizi svolti e dimostrazione

Per distanza punto retta si intende la formula grazie alla quale è possibile calcolare la distanza di un punto da una retta in geometria analitica. Per poterla applicare sono necessari:

  • le coordinate di un punto P
  • l’equazione della retta r.

Definizione

Ecco alcune definizioni che si trovano sui libri di testo. Puoi scegliere quella che ritieni più semplice.

distanza-punto-retta

  • La distanza punto retta è la misura del segmento che dal punto P cade perpendicolarmente sulla retta r.
  • La distanza di un punto da una retta è la proiezione ortogonale del punto P sulla retta r.
  • E’ la distanza minima tra il punto P e tutti i punti appartenenti alla retta r.

d(P,r)=min{d(P,R), con R∈r}

Distanza punto retta formula

In geometria analitica tutto ciò si traduce in una semplice formula. Dati quindi:

  • un punto di coordinate P(xP,yP);
  • l’equazione della retta implicita r: ax+by+c=0

distanza-di-un-punto-da-una-retta

Quini la distanza di un punto da una retta si calcola facendo il valore assoluto della somma dei prodotti delle coordinate dei punti per i coefficienti della retta, fratto la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della retta.

Alcuni suggerimenti

  • assicurati che l’equazione della retta sia nella forma implicita (cioè al secondo membro devi avere 0). Se il problema dovesse darti la forma esplicita, ricordati di trasformarla in implicita prima di calcolare la distanza punto retta.
  • il valore assoluto rende il numeratore positivo, per cui la misura della distanza sarà sempre un valore positivo. Se ci pensi è anche normale: come fanno due oggetti ad essere distanti tra loro ad esempio -100 metri?

Dimostrazione

La dimostrazione della distanza di un punto da una retta non è particolarmente complessa, ma si basa su quanto già studiato in precedenza. In genere non viene richiesta a lezione, ma la riportiamo per completezza per chiunque voglia approfondire.

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Come dimostrare la distanza di un punto da una retta sul grafico

Data la retta generica r:ax+by+c=0, dobbiamo calcolare la distanza dal punto P(x0,y0). Questo vuol dire che dovrà passare una retta perpendicolare alla retta r e passante per P. Nella scorsa lezione abbiamo parlato di retta passante per un punto e abbiamo studiato la formula y-y0=m(x-x0).

distanza-punto-retta

Dimostrazione distanza di un punto da una retta

Una volta individuata l’equazione della retta s perpendicolare a r e passante per P, occorre mettere a sistema le due rette e trovare il loro punto di intersezione T. Infine si calcolano la distanza tra i due punti P e T e la dimostrazione è conclusa.

Lasciamo il proseguo della dimostrazione, quindi i puri calcoli, come esercitazione a casa.

Esercizi svolti

Esercizio 1

Calcolare la distanza punto-retta dove P(2,3) e r:x+y-1=0

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Distanza di un punto da una retta – Esercizi Svolti 1

L’esercizio n.1 è abbastanza banale, basta sostituire i dati nella formula vista in alto e il problema è risolto. Nella parte finale, vi abbiamo ricordato come si fa a razionalizzare una radice quadrata. Se dovessero esserci problemi su questi calcoli, ti consigliamo di riguardarti la lezione sulle radici.

  1. Calcolare la distanza di P(4,3) da r:y=2x-3 -> PROVA A RISOLVERLO COME ESERCIZIO PER CASA

SUGGERIMENTO: In questo secondo esercizio parti dall’equazione in forma esplicita della retta e trasformala in implicita. In questo modo ti riconduci al caso precedente, per cui abbiamo individuato la distanza punto-retta.

Esercizio 2

Calcola la distanza del punto P(0;6) dalla retta che passa per i punti A(2,3) e B(1/2;1)

Quello che si può subito notare è che la traccia ci chiede di calcolare la distanza tra punto e retta, ma non ci fornisce direttamente quest’ultima. Sappiamo solo che la retta r passa per i punto A e B. Quindi la prima operazione è quella di utilizzare la retta passante per 2 punti.

distanza-punto-retta-esercizi

A questo punto, avendo calcolato la retta, possiamo utilizzare le conoscenze apprese oggi. In particolare:

distanza-punto-retta-formula

Andiamo ad applicare la formula al nostro esercizio, per ottenere quindi:

distanza-punto-retta-esempio

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