Retta passante per due punti, formula ed esercizi svolti

In questa lezione vedremo come si calcola l’equazione della retta passante per due punti noti nel piano cartesiano. Si tratta di una delle formule che si studiano nella prima parte del programma di geometria analitica e permette di risolvere numerosi esercizi.

Con la formula della rette per due punti √® possibile determinare l’equazione di una retta che passa per 2 punti di cui sono note le coordinate cartesiane.

A fine lezione vedremo alcuni esercizi guida commentati passo passo, cos√¨ da facilitare l’applicazione della regola studiata.

Equazione retta passante per due punti

Vediamo subito come trovare l’equazione di una retta che passa per due punti A e B di cui sono note le coordinate.

equazione-retta-passante-per-due-punti

dove i due punti sono A(xA, yA) e B(xB, yB).

Osservazioni e consigli

E’ possibile osservare che l’equazione √® formata da un’uguaglianza tra due frazioni. Il primo termine al numeratore del primo e del secondo membro √® senza pedice.

La y e la x che vedi senza il pedice vanno lasciate sotto forma di lettera

Questo perch√© x e y sono le variabili dell’equazione della retta y=mx+q finale che otterremo.

La formula della retta passante per due punti vista ora, √® valida solo quando xA √® diverso da xB e quando yA √® diverso da yB. In parole povere non si pu√≤ applicare nel caso in cui si abbia un retta orizzontale o una retta verticale.

Retta per due punti orizzontale/verticale

  • Retta verticale: x=k ‚Üí nel caso in cui i due punti abbiano stessa ascissa. L’equazione della retta sar√† l’ascissa stessa che hanno in comune.

Esempio:

Calcolare l’equazione della retta che passa per i punti A(3;2) e B(3;0)

Svolgimento: In questo caso l’equazione della retta sar√† x=3.

  • Retta orizzontale: y=k ‚Üí nel caso in cui siano uguali le ordinate dei due punti, allora l’equazione della retta sar√† y uguale all’ordinata stessa.

Esempio:

Calcolare la retta passante per i due punti A(0;1) B(5,1)

Svolgimento: in questo caso l’equazione sar√† invece y=1.

Dimostrazione formula retta per 2 punti

Poich√© la retta passa per i due punti A e B, vuol dire che questi due appartengono alla retta. Imponiamo dal punto di vista matematico questa appartenenza, andando a sostituire in due equazioni separate le coordinate di A e B nell’equazione della retta esplicita.

y=mx+q

  • Sostituisco le coordinate di A: yA=m¬∑xA+q
  • Sostituisco le coordinate di B: yB=m¬∑xB+q

Dato che la retta passa per i due punti contemporaneamente, vuol dire che ho un sistema di primo grado che posso risolvere con la tecnica della sottrazione per trovare le incognite m e q.

yA=m¬∑xA+q   –

yB=m¬∑xB+q  =
____________

(yB-yA) = m (xB-xA)

Posso ricavare la prima incognita m, ovvero il coefficiente angolare della retta passante per due punti:

coefficiente-angolare-retta-passante-per-due-punti

A questo punto posso sostituire in una delle due equazioni del sistema:

dimostrazione-retta-per-2-punti

Nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente diviso tutta l’equazione per yB-yA. A questo punto mettiamo in evidenza la parentesi tonda al secondo membro. In questo modo otteniamo la formula della retta per due punti.

Retta per 2 punti

Esercizi svolti

Abbiamo capito, anche grazie alla dimostrazione l’equazione di una retta passante per 2 punti. Ora proviamo a svolgere assieme qualche esercizio guida.

Esercizio 1

Trovare l’equazione della retta passante per 2 punti A(-5;0) e B(3;2).

Svolgimento

Applichiamo semplicemente la formula vista.

Retta per 2 punti

eq-retta-passante-per-due-punti

L’esercizio si √® dimostrato molto semplice. Unica attenzione al doppio segno al secondo membro.

Esercizio 2

Calcolare l’equazione della retta per due punti A(0;0) e B(1/2, -3).

Svolgimento

Anche in questo caso è sufficiente andare a sostituire i numeri. Attenzione alla doppia frazione al secondo membro.

esercizio-retta-due-punti

Conclusioni

Abbiamo visto che per trovare le rette per due punti servono sostanzialmente solo le coordinate dei punti stessi. Si tratta di un calcolo semplice su cui, però, bisogna fare attenzione ai segni.

La lezione si conclude, ma lasciamo spazio in basso alle considerazioni degli studenti. Se gli appunti sono stati utili e chiari, ti chiediamo di lasciare un commento positivo. Ci serve per migliorare la qualità delle lezioni e offrire sempre contenuti di qualità.

Se invece ci sono ancora dubbi o incertezze, siamo a disposizione per qualsiasi domanda. Buono studio.

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