Disequazioni di secondo grado fratte – esercizi svolti

Abbiamo gi√† parlato nelle scorse lezioni delle tecniche di svolgimento delle disequazioni fratte e di come queste possano facilmente essere ricondotte a delle pi√Ļ semplici disequazioni di primo grado.

Nella lezione di oggi faremo un piccolo passo in avanti vedendo come si svolgono le disequazioni fratte di secondo grado, analizzando degli esercizi svolti e commentati con diverso grado di difficoltà.

Come si risolvono le disequazioni di II grado fratte?

Non cambia assolutamente nulla rispetto alle disequazioni fratte di primo grado: la tecnica resta la stessa. Si risolvono separatamente il pezzo di sopra (numeratore) e il pezzo di sotto (denominatore). Ecco la situazione pi√Ļ frequente in cui saranno espressi gli esercizi da risolvere:

Numeratore fratto denominatore maggiore e uguale di zero

Che possiamo abbreviare per semplicità in:

Svolgimento disequazioni fratte II grado

Questa si risolve, qualsiasi sia il verso della disequazione (maggiore o minore), imponendo:

  • Numeratore maggiore di zero
  • Denominatore maggiore di zero

Nel caso la disequazione di secondo grado fratta abbia il maggiore e uguale o il minore e uguale, allora dovrai aggiungere il simbolo uguale SOLO AL NUMERATORE. Ricordati infatti che al denominatore non può esserci mai zero perché rende impossibile la frazione (prova a fare un numero diviso zero sulla tua calcolatrice per provare!)

Risolviamo quindi le due disequazioni separatamente e, ottenuti i risultati, si posizionano su un grafico in cui andremo a valutarne i segni.

Si prende + o – ?

Per trovare il risultato delle disequazioni fratte di secondo grado semplicemente si prenderà il segno corrispondente al verso della disequazione iniziale.

  • Prenderai + se il verso della disequazione fratta √® maggiore o maggiore e uguale
  • Prenderai – se il verso della disequazione fratta √® minore o minore e uguale.

Congratulazioni! Hai già completato la parte teorica di questa lezione. Ora proveremo a mettere in pratica quello che abbiamo appreso, provando a risolvere alcuni esercizi.

Esercizi disequazioni fratte di secondo grado

Esercizio 1

Esercizi disequazioni secondo grado fratte

Risolviamo l’esercizio agendo separatamente su numeratore e denominatore. Quindi iniziamo a risolvere:

Svolgimento esercizio 1

Come si può notare abbiamo messo il verso maggiore alla disequazione nonostante la traccia ci imponesse il minore. Questo perché il segno lo stabiliremo alla fine sul grafico.

Ci troviamo ad una semplice disequazione di secondo grado. Ti ricordi come si risolvono? Possiamo usare il metodo del delta oppure somma e prodotto. In questo caso, visto che manca il termine di primo grado (vedi che ci sono solo il quadrato e il termine noto?). Cosa possiamo notare?

Che 9 x alla seconda √® sicuramente positivo e sommando 2, il risultato sar√† ancora positivo. Quando questo numero positivo √® >0? Sempre, che in linguaggio matematico si scrive “per ogni x appartenente a R”

Disequazioni di secondo grado esercizi

Consideriamo i valori esterni (visto che il primo coefficiente della disequazione e il suo verso sono concordi), per cui il risultato è:

Disequazioni secondo grado fratte esercizi

A questo punto possiamo combinare la soluzione del numeratore e del denominatore in un unico grafico. Sulla prima riga mettiamo un’unica linea continua (corrispondente al risultato “sempre”), sulla seconda riga mettiamo invece linea continua prima di 2 e dopo il 3, il resto va tratteggiato.

Grafico disequazioni secondo grado fratte

Dato che la disequazione fratta di secondo grado aveva il verso minore, il risultato sar√† dato da quei valori con il segno meno. Per cui la soluzione dell’esercizio √®:

2<x<3

Esercizio 2

Traccia disequazioni fratte di secondo grado

Ad un’occhiata veloce, ci si potrebbe chiedere se questo esercizio si risolva con le disequazioni fratte di secondo grado, visto che non c’√® nessuna potenza. Tuttavia abbiamo una differenza di due polinomi, per cui sar√† necessario eseguire il minimo comune multiplo.

Svolgimento esercizio 2

Proseguiamo sviluppando le moltiplicazioni, meglio ancora se ci ricordiamo la regola della somma di un prodotto per una differenza. Otteniamo quindi:

Svolgimento esercizio fratte secondo grado

A questo punto siamo tornati al caso precedente, in cui c’√® un unico numeratore e un unico denominatore, ma questa volta il verso della disequazione √® minore e uguale.

Svolgimento esercizio fratta II grado

Studiamo i segni delle soluzioni su un grafico.

Grafuco disequazioni II grado fratte

Visto che la disequazione fratta aveva il verso minore e uguale, allora prenderemo il segno meno facendo attenzione a dove c’√® il segno dell’uguale – sul grafico segnato con un tondino.

Risultato esercizio 2

Esercizio 3

Traccia esercizio 3 sulle disequazioni fratte di II grado

In quest’ultimo esercizio troviamo una disequazione fratta di II grado leggermente pi√Ļ complessa rispetto alla precedente. L’unica difficolt√†, in realt√† riguarda i denominatori e il calcolo del minimo comune multiplo.

Il termine centrale infatti √® un polinomio di grado 2 che pu√≤ essere scomposto in (x-3)(x-2). Se trovi difficolt√† in questo passaggio, ti consigliamo di dare un’occhiata alla lezione sulle scomposizioni di polinomi. Il risultato che si ottiene √®:

Svolgimento esercizio 3

Siamo arrivati al caso N/D maggiore o minore di 0. Per cui separiamo numeratore e denominatore imponendo il primo maggiore e uguale, il secondo solo maggiore di 0. Ricorda che al denominatore non ci deve essere mai il segno uguale.

Calcoli disequazioni fratte secondo grado

Andando a risolvere la prima, otteniamo quindi:

Grafico esercizio svolto

Degli intervalli indicati prenderemo i valori con il segno meno, visto che la disequazione aveva il verso minore e uguale. Quindi il risultato finale è:

Disequazioni fratte di secondo grado svolte

Conclusioni finali

Come hai potuto notare, le disequazioni fratte di secondo grado non sono così difficili: basta fare attenzione ai segni, saper scomporre i polinomi e calcolare correttamente il minimo comune multiplo. Non ci sono altri tipi di difficoltà.

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