Disequazioni di primo grado, come risolverle senza rischiare di fare errori

Le disequazioni di primo grado, sono delle disequazione che hanno al loro interno l’incognita x di grado 1. Proprio per questa ragione vengono chiamate anche disequazioni lineari.

Per poterle risolvere √® necessario effettuare operazioni e semplificazioni cos√¨ da ricondurre la disequazione di primo grado nella forma pi√Ļ semplice:

ax>b
(maggiore)

ax<b
(minore)

ax‚Č•b
(maggiore e uguale)

ax‚ȧb
(minore e uguale)

Come si risolvono le disequazioni di primo grado?

I valori a¬†e¬†b¬†si chiamano coefficienti della disequazione e appartengono all’insieme dei numeri reali.¬†Una volta giunti ad una delle quattro forme base viste sopra, possiamo risolvere esattamente come siamo abituati con le equazioni di primo grado. Quindi la x viene isolata portando il coefficiente a¬†al denominatore del secondo membro.

ax>b ‚Üí x>b/a

ax<b ‚Üí x<b/a

ax‚Č•b ‚Üí x‚Č•b/a

ax‚ȧb ‚Üí x‚ȧb/a

Tutto quello che c’√® da sapere sulle disequazioni di primo grado √® finito. Tutte le difficolt√† che potrai incontrare riguardano sostanzialmente i passaggi algebrici. Il difficile, in poche parole, √® solo arrivare ad uno dei quattro casi visti sopra.

Quando prenderai confidenza con l’argomento passerai a dei casi un po’ pi√Ļ complessi, come le disequazioni di primo grado fratte, in cui l’incognita x compare anche al denominatore. Iniziamo intanto a concentrarci sui casi pi√Ļ semplici.

2 consigli per evitare di sbagliare

1) Se cambi i segni cambia anche il verso

La cosa fondamentale da ricordare è che nelle disequazioni di primo grado se vogliamo cambiare tutti i segni va cambiato anche il verso. Mentre cioè nelle equazioni di primo grado era sufficiente cambiare solo tutti i segni, qui dobbiamo ricordarci di trasformare il maggiore in minore e viceversa.

2) Disequazioni lineari con le frazioni

Nella nostra esperienza abbiamo avuto modo di constatare che gli studenti ci chiedono un aiuto soprattutto quando i coefficienti sono delle frazioni. Se invece di a e b abbiamo delle frazioni cosa succede? E’ un aspetto che abbiamo gi√† evidenziato nelle equazioni di primo grado, ma √® meglio ribadirlo piuttosto che avere dei dubbi. Facciamo subito lo schema di come risolvere:

disequazioni-di-primo-grado

Come puoi notare √® sufficiente trasportare la prima frazione (il coefficiente della x) al secondo membro come prodotto e capovolgerla: il numeratore diventa denominatore e viceversa. Seguendo questa regola non avrai pi√Ļ bisogno di aiuto e sicuramente eviterai dubbi o errori.

I primi esercizi con le disequazioni di primo grado

Quelli che ti proponiamo ora sono alcuni esercizi e problemi risolti con soluzione. Si tratta di esempi che potrai trovare utili per applicare i metodi di risoluzione visti sopra nella parte teorica. Vediamo allora come si risolvono le disequazioni di primo grado seguenti.

Esempio 1

3x-4>0

Abbiamo detto che per risolvere una disequazione di 1 grado bisogna isolare la x al primo membro. Per cui il termine noto (cioè i coefficiente senza la x) va portato al secondo membro cambiandogli il segno.

3x>+4

A questo punto, per isolare definitivamente la x, bisogna portare il coefficiente 3 al secondo membro. Dividiamo quindi primo e secondo membro della disequazione lineare per 3.

x>+4/3

Esempio 2

3x+4‚Č•3(x+2)-2

Rispetto al caso precedente c’√® semplicemente una moltiplicazione in pi√Ļ da eseguire. Risolviamo subito il prodotto per eliminare la parentesi tonda:

3x+4‚Č•3x+6-2

3x+4‚Č•3x+4

Portiamo quindi ora tutti i monomi con la x al primo membro, mentre i termini noti vanno al secondo membro.

3x-3x‚Č•+4-4

0x‚Č•0

Abbiamo ottenuto un risultato decisamente strano. Poich√© 0 moltiplicato per x fa 0, la disequazione ci sta chiedendo quando 0‚Č•0? Se la disequazione fosse con il segno > (solo maggiore) sarebbe impossibile, perch√© 0 non √® maggiore di se stesso. In questo caso, tuttavia, la disequazione di primo grado ha il verso maggiore e uguale. Poich√© 0=0, allora il risultato √® sempre verificato. In matematica si scrive come:

‚ąÄx‚ąąR

Si legge per ogni x appartenente ad R che equivale a dire che qualsiasi valore noi assegniamo alla x, il risultato è sempre valido.

Esempio 3

‚ąö2 x +1‚Č• 3+x

Si tratta di una disequazione di primo grado a coefficiente irrazionale. Cioè uno dei coefficienti è una radice quadrata. Senza lasciarci prendere dal panico, applichiamo il metodo risolutivo: i coefficienti con la x al primo membro, tutti gli altri al secondo membro.

‚ąö2 x‚Č• 3-1

‚ąö2x ‚Č• 2

x ‚Č• 2/‚ąö2

A questo punto possiamo applicare la regola delle razionalizzazioni dei radicali. Moltiplichiamo e dividiamo il secondo membro per¬†‚ąö2.

x ‚Č• 2/‚ąö2¬†¬∑¬†‚ąö2/‚ąö2

x ‚Č• 2‚ąö2/2

x ‚Č• ‚ąö2.

Esempio 4

disequazione-primo-grado-esempio

Questo ultimo esercizio pu√≤ sembrare pi√Ļ difficile ma chiarisce quanto le disequazioni di primo grado siano in realt√† semplice. Pu√≤ essere l’espressione in s√© pi√Ļ complessa, ma il metodo risolutivo √® sempre lo stesso. In questo caso abbiamo sfruttato la tecnica di semplificazione dei polinomi del raccoglimento a fattor comune¬†per ottenere il binomio letterale (b-a) sia a primo che a secondo membro.

Conclusioni

Riepilogando: in questa lezione abbiamo visto come si fanno le disequazioni di primo grado analizzando le varie casistiche. Ci siamo imbattuti in esercizi con le frazioni, con le radici e addirittura con le lettere. Sei sei stato in grado di seguire e risolvere con noi questi esempi? Se questa lezione ti è stata chiara o se hai ancora dubbi o necessiti di chiarimenti, lascia un commento qui in basso. Il nostro staff ti risponderà nel minor tempo possibile.

Lascia un commento