Disequazioni di primo grado, come risolverle senza rischiare di fare errori

Le disequazioni di primo grado, sono delle disequazione che hanno al loro interno l’incognita x di grado 1. Proprio per questa ragione vengono chiamate anche disequazioni lineari.

Per poterle risolvere è necessario effettuare operazioni e semplificazioni così da ricondurre la disequazione di primo grado nella forma più semplice:

ax>b
(maggiore)

ax<b
(minore)

ax≥b
(maggiore e uguale)

ax≤b
(minore e uguale)

Come si risolvono le disequazioni di primo grado?

I valori si chiamano coefficienti della disequazione e appartengono all’insieme dei numeri reali. Una volta giunti ad una delle quattro forme base viste sopra, possiamo risolvere esattamente come siamo abituati con le equazioni di primo grado. Quindi la x viene isolata portando il coefficiente al denominatore del secondo membro.

ax>b → x>b/a

ax<b → x<b/a

ax≥b → x≥b/a

ax≤b → x≤b/a

Tutto quello che c’è da sapere sulle disequazioni di primo grado è finito. Tutte le difficoltà che potrai incontrare riguardano sostanzialmente i passaggi algebrici. Il difficile, in poche parole, è solo arrivare ad uno dei quattro casi visti sopra.

Quando prenderai confidenza con l’argomento passerai a dei casi un po’ più complessi, come le disequazioni di primo grado fratte, in cui l’incognita x compare anche al denominatore. Iniziamo intanto a concentrarci sui casi più semplici.

2 consigli per evitare di sbagliare

1) Se cambi i segni cambia anche il verso

La cosa fondamentale da ricordare è che nelle disequazioni di primo grado se vogliamo cambiare tutti i segni va cambiato anche il verso. Mentre cioè nelle equazioni di primo grado era sufficiente cambiare solo tutti i segni, qui dobbiamo ricordarci di trasformare il maggiore in minore e viceversa.

2) Disequazioni lineari con le frazioni

Nella nostra esperienza abbiamo avuto modo di constatare che gli studenti ci chiedono un aiuto soprattutto quando i coefficienti sono delle frazioni. Se invece di a e b abbiamo delle frazioni cosa succede? E’ un aspetto che abbiamo già evidenziato nelle equazioni di primo grado, ma è meglio ribadirlo piuttosto che avere dei dubbi. Facciamo subito lo schema di come risolvere:

disequazioni-di-primo-grado

Come puoi notare è sufficiente trasportare la prima frazione (il coefficiente della x) al secondo membro come prodotto e capovolgerla: il numeratore diventa denominatore e viceversa. Seguendo questa regola non avrai più bisogno di aiuto e sicuramente eviterai dubbi o errori.

I primi esercizi con le disequazioni di primo grado

Quelli che ti proponiamo ora sono alcuni esercizi e problemi risolti con soluzione. Si tratta di esempi che potrai trovare utili per applicare i metodi di risoluzione visti sopra nella parte teorica. Vediamo allora come si risolvono le disequazioni di primo grado seguenti.

Esempio 1

3x-4>0

Abbiamo detto che per risolvere una disequazione di 1 grado bisogna isolare la x al primo membro. Per cui il termine noto (cioè i coefficiente senza la x) va portato al secondo membro cambiandogli il segno.

3x>+4

A questo punto, per isolare definitivamente la x, bisogna portare il coefficiente 3 al secondo membro. Dividiamo quindi primo e secondo membro della disequazione lineare per 3.

x>+4/3

Esempio 2

3x+4≥3(x+2)-2

Rispetto al caso precedente c’è semplicemente una moltiplicazione in più da eseguire. Risolviamo subito il prodotto per eliminare la parentesi tonda:

3x+4≥3x+6-2

3x+4≥3x+4

Portiamo quindi ora tutti i monomi con la x al primo membro, mentre i termini noti vanno al secondo membro.

3x-3x≥+4-4

0x≥0

Abbiamo ottenuto un risultato decisamente strano. Poiché 0 moltiplicato per x fa 0, la disequazione ci sta chiedendo quando 0≥0? Se la disequazione fosse con il segno > (solo maggiore) sarebbe impossibile, perché 0 non è maggiore di se stesso. In questo caso, tuttavia, la disequazione di primo grado ha il verso maggiore e uguale. Poiché 0=0, allora il risultato è sempre verificato. In matematica si scrive come:

∀x∈R

Si legge per ogni x appartenente ad R che equivale a dire che qualsiasi valore noi assegniamo alla x, il risultato è sempre valido.

Esempio 3

√2 x +1≥ 3+x

Si tratta di una disequazione di primo grado a coefficiente irrazionale. Cioè uno dei coefficienti è una radice quadrata. Senza lasciarci prendere dal panico, applichiamo il metodo risolutivo: i coefficienti con la x al primo membro, tutti gli altri al secondo membro.

√2 x≥ 3-1

√2x ≥ 2

x ≥ 2/√2

A questo punto possiamo applicare la regola delle razionalizzazioni dei radicali. Moltiplichiamo e dividiamo il secondo membro per √2.

x ≥ 2/√2 · √2/√2

x ≥ 2√2/2

x ≥ √2.

Esempio 4

disequazione-primo-grado-esempio

Questo ultimo esercizio può sembrare più difficile ma chiarisce quanto le disequazioni di primo grado siano in realtà semplice. Può essere l’espressione in sé più complessa, ma il metodo risolutivo è sempre lo stesso. In questo caso abbiamo sfruttato la tecnica di semplificazione dei polinomi del raccoglimento a fattor comune per ottenere il binomio letterale (b-a) sia a primo che a secondo membro.

Conclusioni

Riepilogando: in questa lezione abbiamo visto come si fanno le disequazioni di primo grado analizzando le varie casistiche. Ci siamo imbattuti in esercizi con le frazioni, con le radici e addirittura con le lettere. Sei sei stato in grado di seguire e risolvere con noi questi esempi? Se questa lezione ti è stata chiara o se hai ancora dubbi o necessiti di chiarimenti, lascia un commento qui in basso. Il nostro staff ti risponderà nel minor tempo possibile.

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