Abbiamo già parlato nelle precedenti lezioni delle proprietà del triangolo equilatero. Oggi vedremo un approfondimento più specifico: che cosa succede quando abbiamo un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza?
Quali formule bisogna utilizzare e come si risolvono i problemi? A tutte queste domande risponderemo analizzando diversi casi ed esercizi svolti. Iniziamo però subito capendo quando un triangolo equilatero è inscritto all’interno di una circonferenza.
Come puoi osservare dalla figura i tre vertici del triangolo toccano la circonferenza. Si può anche dire infatti che la circonferenza è circoscritta al triangolo.
Puoi notare che si formano tre triangoli isosceli: ACD, ABC, BCD. A questo punto per ogni triangolo isoscele possiamo disegnare l’altezza (che sappiamo anche essere mediana e bisettrice).
Considerando che si formano 3 angoli perfettamente uguali, allora gli angoli che partono dal punto C sono tutti di 120° (essendo 360° diviso il numero di angoli che si formano, cioè 3, allora ognuno sarà di 120°).
Prendiamo ad esempio il triangolo ABC. Tracciano l’altezza CH si formano due triangoli rettangoli congruenti: ACH e HCB. Sappiamo che:
Poiché AH è metà base del triangolo equilatero, allora il lato di quest’ultimo è pari a:
Svolgimento
Ricordi le formule di cerchio e circonferenza? Nota la lunghezza della circonferenza posso calcolare il raggio:
A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo con la formula generale base per altezza diviso due.
Definizione
Un triangolo equilatero si definisce inscritto in una circonferenza quando le due figure hanno solo 3 punti in comune.
Come puoi osservare dalla figura i tre vertici del triangolo toccano la circonferenza. Si può anche dire infatti che la circonferenza è circoscritta al triangolo.
Formule da usare
Ne vedremo la dimostrazione tra pochissimo. Iniziamo dicendo subito che è sufficiente avere il raggio per conoscere il lato del triangolo.l=r√3
dove l è la misura del lato del triangolo equilatero, mentre r è il raggio della circonferenza circoscritta. Da questa possiamo ricavare la formula inversa che permette di trovare il raggio a partire dal lato del triangolo.r=l / √3
Dimostrazione e proprietà
Indicando con C il centro della circonferenza, proviamo ad unire questo con i vertici del triangolo.
Puoi notare che si formano tre triangoli isosceli: ACD, ABC, BCD. A questo punto per ogni triangolo isoscele possiamo disegnare l’altezza (che sappiamo anche essere mediana e bisettrice).
Considerando che si formano 3 angoli perfettamente uguali, allora gli angoli che partono dal punto C sono tutti di 120° (essendo 360° diviso il numero di angoli che si formano, cioè 3, allora ognuno sarà di 120°).
Prendiamo ad esempio il triangolo ABC. Tracciano l’altezza CH si formano due triangoli rettangoli congruenti: ACH e HCB. Sappiamo che:
- AC = CB = raggio della circonferenza = r
- L’angolo ACB = 120°, per cui ACH=HCB=60°
Poiché AH è metà base del triangolo equilatero, allora il lato di quest’ultimo è pari a:
AB=AD=DB → l=r√3
Abbiamo quindi capito che quando nel triangolo equilatero inscritto alla circonferenza è sufficiente avere il raggio, per poter così conoscere le misure di tutti i lati.Esercizio svolto
Un triangolo equilatero ABC è inscritto in una circonferenza che misura 100π. Calcolare l’area del triangolo equilatero, l’area del cerchio, l’area della parte di cerchio colorata.
Svolgimento
Ricordi le formule di cerchio e circonferenza? Nota la lunghezza della circonferenza posso calcolare il raggio:
C=2πr → r=C/2π
r=100π/2π = 50 cm
Usiamo la formula che abbiamo dimostrato che ci permette di trovare il lato del triangolo dato il raggio.l = r√3 = 50√3
A questo punto calcoliamo l’altezza CH con la formula inversa del teorema di Pitagora.
A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo con la formula generale base per altezza diviso due.
At = 50√3 · 75 = 6.495 cm²
Possiamo poi calcolare l’area del cerchio come pigreco per raggio alla seconda, così da ottenere:Ac = π·50²= 7.850 cm²
Per calcolare infine l’area colorata della figura basta eseguire la sottrazione tra area più grande del cerchio e quella più piccola del triangolo.A = 7.850 – 6.495 = 1.355 cm².