Area triangolo equilatero – come calcolarla in pochi semplici passaggi.

Il triangolo equilatero √® un poligono regolare avete i 3 lati e i 3 angoli tutti uguali, pari a 60¬į. Per questa ragione viene chiamato anche triangolo equiangolo. In questa lezione vedremo come si fa a calcolare l’area del triangolo equilatero, il perimetro e tutte le formule che bisogna sapere per risolvere i problemi di geometria senza commettere errori.

Prima di vedere la teoria e le formule del triangolo equilatero, c’√® da dire che vale tutto quello gi√† detto nella lezione sul triangolo scaleno. Quindi anche l’area del triangolo equilatero si calcola base per altezza diviso due, mentre il perimetro √® la somma dei lati.

Triangolo equilatero definizione

Come gi√† detto nella parte introduttiva, il triangolo equilatero √® un poligono regolare avente 3 lati e 3 angoli tutti uguali. Poich√© la somma degli angoli interni di un triangolo √® pari a 180¬į, allora ogni suo angolo misura 60¬į.

Formule triangolo equilatero

Come si calcola l’area?

L’area del triangolo equilatero misura la superficie racchiusa all’interno di un triangolo che ha tutti i lati uguali. Ecco le formule dirette che possono essere utilizzate conoscendo il lato.

area-triangolo-equilatero

Area del triangolo equilatero noto il lato

altezza-triangolo-equilatero


Area del triangolo equilatero nota l’altezza

area-triangolo-equilatero-altezza


Area del triangolo equilatero noto il perimetro

area-triangolo-equilatero-perimetro


Dimostrazione della formula dell’area dato il lato

Per calcolare l’area del triangolo equilatero, dobbiamo sfruttare la formula generale valida per tutti i triangoli:

formule-triangolo-isoscele-area

La base in questo caso √® il lato del triangolo AB¬†in figura. L’altezza invece √® il segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente sul lato opposto. Nel disegno in figura, h=CH. Per cui riscrivendo la formula dell’area del triangolo equilatero ho:

triangolo-equilatero-area-formula

Conoscendo il lato AB=BC=CA, resta da determinare l’altezza CH. Questa pu√≤ essere calcolata usando il teorema di Pitagora¬†e considerando il triangolo rettangolo CHB. (triangolo di 30-60-90 gradi). Poich√© l’altezza √® anche mediana nei triangoli equilateri, allora possiamo scrivere che:

HB=CB:2 → HB=AB:2 poiché tutti i lati del triangolo sono uguali.

Usando la formula inversa del teorema di Pitagora ho:

Formula area triangolo equilatero

Eseguendo la radice quadrata si ottiene la formula risolutiva:

altezza-triangolo-equilatero

Calcolata quindi l’altezza, possiamo passare al calcolo dell’area del triangolo equilatero.

formula-inversa-area-triangolo-equilatero

Semplicemente facendo un paio di moltiplicazioni si ottiene la formula finale:

area triangolo equilatero

 

Perimetro triangolo equilatero

Molto pi√Ļ semplice √® invece la formula del perimetro. Essendo pari alla somma dei tre lati ed essendo questi tutti uguali, allora il perimetro del triangolo equilatero pu√≤ essere calcolato con la formula:

p=3L

Cioè il perimetro è pari alla misura di uno qualsiasi dei lati moltiplicato per 3.

Proprietà del triangolo equilatero

Ecco riassunte tutte le caratteristiche di questo particolare tipo di triangolo:

  • ha tutti i lati uguali;
  • ha tutti gli angoli uguali e misurano 60¬į;
  • √® sempre inscrivibile in una circonferenza;
  • √® un particolare tipo di triangolo isoscele;

Area triangolo equilatero – esercizi svolti

Esercizio 1.

Calcolare l’area del triangolo equilatero che ha il lato che misura 10 cm.

Le possibili strade per ottenere la soluzione sono due. Nel primo metodo, quello pi√Ļ lungo:

  • calcolare la met√† del lato;
  • applicare la formula inversa del teorema di Pitagora per ottenere l’altezza;
  • calcolare l’area con la formula generale base per altezza diviso due.

Con il secondo metodo andiamo direttamente ad applicare la formula diretta vista in questa lezione. E’ noto un lato e bisogna calcolare l’area del triangolo equilatero. Per cui la formula da usare √®:

altezza-triangolo-equilatero

A=(‚ąö3):4√ó10=4,33 cm.

Esercizio 2.

Calcolare l’area del triangolo equilatero con l’altezza che misura 20 cm.

Il metodo pi√Ļ diretto per risolvere l’esercizio √® sicuramente quello di utilizzare la formula vista in questa lezione.

area-triangolo-equilatero-altezza

A=20¬≤:(‚ąö3)=400√ó1,732=230,96 cm¬≤

area-triangolo-equilatero

Un secondo metodo potrebbe essere quello di calcolare l’area del triangolo CHB di cui conosciamo il cateto maggiore CH. Si tratta, come gi√† detto prima, di un triangolo rettangolo da 30-60-90.

  • L’ipotenusa √® il lato del triangolo equilatero;
  • Il cateto minore √® la met√† del lato del triangolo equilatero;
  • Il cateto maggiore √® l’altezza del triangolo equilatero.

Quindi possiamo scrivere il teorema di Pitagora:

calcolo-area-triangolo-equilatero

L=40/1,732=23,09 cm²

A questo punto posso calcolare l’area utilizzando la prima formula (area triangolo equilatero noto il lato)

A=230,96 cm²

Esercizio 3

Data l’area del triangolo equilatero, calcolare il perimetro. A=96cm¬≤.

Come abbiamo visto nella lezione sui perimetri dei triangoli, possiamo utilizzare la formula semplificata P=3L. Quindi √® necessario calcolare il lato partendo dall’area. Dalla prima formula vista, ricaviamo la inversa per ottenere il lato.

area-triangolo-equilatero-lato

AB²=221,70 cm²

Per ottenere il risultato finale, è sufficiente fare una radice quadrata ad entrambi i membri.

AB=14,89 cm.

Approfondimenti: Area triangolo scaleno Рquali formule usare?

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