Altezza relativa all’ipotenusa – come si calcola?

Come posso calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo? Esiste una formula che mi eviti di usare i teoremi di Euclide e di Pitagora? Potreste farmi qualche esempio pratico di calcolo? Grazie – Loredana

Risposta

Loredana ci scrive via mail chiedendoci di chiarire un po’ di dubbi sull’altezza relativa all’ipotenusa. Iniziamo subito vedendo che cos’√® e poi qual √® la formula pi√Ļ veloce e facile da usare nei problemi.

Che cos’√® l’altezza relativa all’ipotenusa

E’ il segmento che unisce perpendicolarmente uno dei vertici con l’ipotenusa.

In figura puoi vedere il triangolo ABC, dove AC e BC sono i cateti, mentre AB √® l’ipotenusa. Il segmento tratteggiato CH √® l’altezza relativa all’ipotenusa.

disegno-area-triangolo-rettangolo

Formule di calcolo

altezza-relativa-all-ipotenusa-formula

Dimostrazione

Per capire come si arriva a questa formula, riscriviamoci per un attimo le formule per il calcolo dell’area del triangolo rettangolo.

area-triangolo-rettangolo-cateti area-triangolo-rettangolo-ipotenusa

dove c1 e c2 sono i cateti, A √® l’area, h √® l’altezza relativa all’ipotenusa e i √® proprio l’ipotenusa.

Visto che il primo termine è uguale, proviamo ad eguagliare i secondi termini delle due equazioni.

formula-altezza-ipotenusa

Dopo aver moltiplicato entrambi i membri per 2, semplicemente si sposta la i¬†dell’equazione al primo membro e si ottiene la formula da dimostrare.

altezza-relativa-all-ipotenusa-formula

Conclusioni

Abbiamo visto che il metodo pi√Ļ rapido per calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa √® di sfruttare la misura di tutti i lati del triangolo rettangolo. Per utilizzare la formula vista, infatti, bisogna avere noti sia i cateti che l’ipotenusa. Nel caso in cui i lati a disposizione siano solo 2, si potr√† ricavare il terzo applicando il teorema di Pitagora.

Esercizi svolti

Dati i valori dei due cateti 5 cm e 12 cm calcolare, in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa.

disegno-area-triangolo-rettangolo

Per utilizzare la formula vista nella parte teorica, ci serve anche l’ipotenusa. Per cui dobbiamo sfruttare il teorema di Pitagora.

AB²=AC²+BC² →AB²=5²+12²=25+144=169

AB=13 cm

Approfondimento: hai notato che il teorema di Pitagora ci porta ad avere un’ipotenusa senza la virgola? Questo perch√© 5,12 e 13 sono una Terna Pitagorica.

A questo punto possiamo concludere l’esercizio calcolando l’altezza relativa all’ipotenusa.

altezza-relativa-all-ipotenusa-formula

h=12√ó5:13=4,61 cm

Conclusioni finali

Probabilmente qualche docente non sar√† d’accordo ad applicare questa formula perch√© preferisce applicare i Teoremi di Euclide. Tuttavia ai nostri studenti consigliamo sempre di risolvere i problemi di geometria con il metodo pi√Ļ rapido, semplice e facile da ricordare.

I teoremi di Euclide vanno calcolati quando entrano in gioco anche le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Altrimenti √® pi√Ļ che valida la formula diretta per l’altezza relativa all’ipotenusa che abbiamo visto in questa lezione.

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