Esercizi sulle potenze svolti e da svolgere

Oggi faremo esercitazione: impareremo a risolvere gli esercizi sulle potenze con esempi svolti e commentati così da aiutarti a comprendere meglio le tecniche usate.

Esercizi sulle potenze

Introduzione

Esercizi sulle proprietà delle potenze (già svolti!)

Esercizi da risolvere

Suggerimenti per risolvere gli esercizi


Introduzione

Nella scorsa lezione abbiamo analizzato le proprietà delle potenze: abbiamo visto la moltiplicazione tra potenze, le divisioni e come risolvere gli esercizi quando ci sono basi o esponenti uguali.

Le regole che vedremo per risolvere questi facili esempi valgono sia per studenti di scuole medie che di superiore. Le useremo infatti nei problemi di geometria, nelle equazioni fratte ed in particolar modo nei radicali.

I primi esercizi sulle proprietà delle potente li risolveremo assieme, come sempre, così da comprendere meglio trucchi e suggerimenti per non sbagliare. Si tratta comunque di esercizi semplici, basta applicare le proprietà viste nella parte teorica.

Proprietà delle potenze – esercizi svolti

Esempio 1

\left (-\frac{2}{3} \right )^{5}\cdot\left (+\frac{27}{4} \right )^{5}:\left (+\frac{6}{5} \right )^{5}\cdot\left (-\frac{2}{5} \right )^{5}=

In questo primo esercizio iniziamo dando un’occhiata alla traccia. Cosa stiamo cercando? Innanzitutto se abbiamo divisioni o moltiplicazioni di potenze con la stessa base o lo stesso esponente. Trovandoci di fronte a questa situazione, infatti, il problema si risolve in maniera immediata.

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Nel nostro caso, appunto, abbiamo moltiplicazioni e divisioni di potenze con uguale esponente. Risolviamo così applicando direttamente le proprietà delle potenze, attraverso cioè la somma algebrica degli esponenti. Risolviamo la prima moltiplicazioni e poi la divisioni.

\left(-\frac{9}{2}\right)^{5}\cdot\left(+\frac{5}{6}\right)^{5}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)^{5}=

\left(-\frac{15}{4}\right)^{5}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)^{5}= \left(+\frac{3}{2}\right)^{5}

L’esercizio è stato quindi risolto in pochi semplici passaggi. Forse l’unica operazione che poteva mettere in difficoltà uno studente poco attento era la divisione tra frazioni – si ricorda, secondo quanto visto nella lezione sulle operazioni con i numeri relativi, che questa si risolve trasformando la divisione in moltiplicazione e “capovolgendo” la seconda frazione.

Esempio 2

Passiamo ora al secondo esercizio svolto:

 \left[-2^{2}:\left(1+\frac{1}{4}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left[-5:\left(1+\frac{2}{3}\right)\right]^{3}:3^{3=}

Il problema che stiamo risolvendo è praticamente un’espressione algebrica al cui interno compaiono anche le potenze. Si risolve sempre allo stesso modo: diamo priorità alle parentesi tonde, quindi risolviamo le operazioni al loro interno e solo poi pensiamo alle potenze.

In questo caso svolgiamo le addizioni in parentesi:

\left[-2^{2}:\left(\frac{4+1}{4}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left[-5:\left(\frac{3+2}{3}\right)\right]^{3}:3^{3=}

\left[-2^{2}:\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left[-5:\left(\frac{5}{3}\right)\right]^{3}:3^{3=}

Attenzione al -2 elevato al quadrato. L’elevazione a potenza riguarda solo il numero e non il segno, altrimenti avremmo trovato (-2) al quadrato. Questo significa che il meno per ora non resta coinvolto nelle varie operazioni.

Ora posso trasformare le divisioni in parentesi quadra in moltiplicazioni ed eseguire i calcoli.

\left[-2^{2}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left[-5\cdot\left(\frac{3}{5}\right)\right]^{3}:3^{3=}

\left[-2^{2}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left[-5\cdot\left(\frac{3}{5}\right)\right]^{3}:3^{3=}

\left[-\left(2^{2}\right)\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left(-3\right)^{3}:\left(3\right)^{3}=

-\left(\frac{8}{5}\right)^{2}:\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-\left(-1\right)^{3}=

-\left[\left(\frac{8}{5}\right):\left(-\frac{2}{5}\right)\right]^{2}-\left(-1\right)=

-\left[\left(\frac{8}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)\right]^{2}-\left(-1\right)=

-\left(-4\right)^{2}+1=-\left(+16)+1=-16+1=-15

Esercizio 3

Passiamo ora al terzo esercizio sulle propietà potenze:

\left{\left[\left(7^2-4^2\right):\left(7+4\right)-2\right]^4+\left[\left(5^2-3^2\right):2^4+1\right]^3\right}:3^2=

L’esercizio sulle potenze svolto che vi proponiamo ora è estremamente semplice, ma ha il cosiddetto “trabocchetto“. Lo studente disattento svolgerà questo esercizio sin da subito con le proprietà delle potenze, dimenticandosi che queste in realtà valgono solo per moltiplicazioni e divisioni. In questo esercizio, invece, dobbiamo risolvere addizioni e sottrazioni, per cui le proprietà non possono essere applicate.

Per questa ragione, non potendo fare diversamente, iniziamo a risolvere le potenze con la calcolatrice.

\left{\left[\left(49-16\right):\left(11\right)-2\right]^4+\left[\left(25-9\right):2^4+1\right]^3\right}:3^2=

\left{\left[\left(33\right):\left(11\right)-2\right]^4+\left[\left(16\right):2^4+1\right]^3\right}:3^2=

\left{\left[3-2\right]^4+\left[\left(16\right):2^4+1\right]^3\right}:3^2=

A questo punto ci troviamo di fronte ad un 16 diviso 2 alla quarta. La strada più semplice, corretta, ma non molto gradita agli insegnanti, è di risolvere con la calcolatrice. Essendoci tuttavia una divisione, consigliamo di provare a trasformare i due numeri in due potenze con la stessa base. In particolare il 16 può essere scritto come 2 elevato a 4.

\left{\left[3-2\right]^4+\left[2^4:2^4+1\right]^3\right}:3^2=

Ho così ottenuto due potenze con la stessa base e posso applicare la proprietà della divisione delle potenze.

\left{\left[3-2\right]^4+\left[(2:2)^4+1\right]^3\right}:3^2=

\left{\left[3-2\right]^4+\left[1^4+1\right]^3\right}:3^2=

\left{1+\left[2\right]^3\right}:3^2=

\left{1+8\right}:3^2=9:3^2=3^2:3^2=1

Esercizi da risolvere

A questo punto vi lasciamo una serie di esercizi sulle potenze da risolvere a cui allegheremo in basso delle piccole considerazioni e commenti per aiutarvi, come sempre, a risolverli.

esercizi-sulle-potenze-svolti-2

esercizi-sulle-potenze-svolti-3
Esercizi di: Liceo Scientifico Statale “A.Tosi”

Consigli per risolvere gli esercizi sulle potenze

Nelle tracce che vi abbiamo proposto sono un sunto di quanto appreso fino a questo momento. Il livello di difficoltà è basso, basta solo ricordare che le proprietà delle potenze possono essere applicate solo quando siamo di fronte a potenze che si moltiplicano o dividono ed hanno stessa base o esponente. Se mancano queste condizioni, il consiglio è di risolvere gli esercizi con la calcolatrice.

Una volta terminata la lezione, siamo pronti ad affrontare un nuovo argomento, cioè il calcolo letterale. In caso di problemi, difficoltà o dubbi con i problemi assegnati, restiamo come sempre a tua disposizione: contattaci.

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