Operazioni con i numeri relativi definizioni e consigli

In questa prima lezione di matematica abbandoneremo l’aritmetica e ci sposteremo verso l’algebra. Studieremo assieme le operazioni con i numeri relativi, dopo averne data una definizione pratica con esempi e suggerimenti così da comprendere meglio l’argomento.

Gli argomenti della lezione

Cosa sono i numeri relativi?

La retta orientata

Somme algebriche

Sottrazioni

La regola dei segni e le moltiplicazioni tra numeri relativi

Divisioni

Potenze

Esercizi sui numeri relativi


Ciò di cui parleremo oggi sono i numeri relativi. Daremo le prime definizioni con esempi pratici, disegneremo la linea dei numeri relativi, impareremo a calcolare la somma algebrica e più in generale le operazioni con i numeri relativi.

Che cosa sono i numeri relativi?

Prima di introdurre le operazioni con i numeri relativi, capiamo cosa sono queste nuove grandezze tanto importanti in algebra.

Non tutte le grandezze possono espresse soltanto con un numero ma hanno bisogno di qualcos’altro. Pensiamo ad esempio alla temperatura: esiste una temperatura sopra lo zero ed una sotto lo zero. Esiste infatti una temperatura di +30°C, molto calda, ma anche di -30°C, molto fredda.

Allo stesso tempo esistono le regole dei segni nei numeri relativi. Saranno questi infatti preceduti dal segno – o dal segno +.

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Esempio di numeri relativi

Passiamo alle prime due definizioni dei numeri relativi:

  • si parla di numeri relativi concordi quando hanno lo stesso segno
  • si parla di numeri relativi discordi quando hanno segno opposto

La linea dei numeri relativi

Per capire meglio l’argomento è necessario introdurre la linea dei numeri relativi. Questa è fondamentale per confrontare tra loro due numeri e capire quindi qual è il maggiore.

Immaginiamo di disporre tutti i numeri positivi (0, 1, 2, 3, …) su una linea, dal più piccolo al più grande. A sinistra dello zero ci sarà -1, poi -2, eccetera, come in figura.

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La linea dei numeri relativi

La freccina della linea dei numeri relativi indica l’ordine. Che significa ciò? Che ho scoperto come calcolare il numero maggiore. Facciamo 3 esempi per chiarire:

  • Calcolare il numero maggiore tra -2 e +3
    I due numeri sono discordi per cui sarà certamente più grande il positivo
  • Calcolare il numero maggiore tra +2 e +3
    I due numeri sono concordi e positivi. Non cambia nulla rispetto alle operazioni aritmetiche. Quindi +3 è più grande di +2.
  • Calcolare il numero maggiore tra -3 e -2
    I due numeri sono concordi ma negativi. Il numero maggiore è sempre quello più a destra, cioè -2.

Per l’ultimo esempio basti pensare alla temperatura: -2 gradi è una temperatura leggermente maggiore di -3 gradi.

Le operazioni con i numeri relativi

La somma algebrica

Una volta capita la linea dei numeri relativi è tutto più facile. Distinguiamo ancora una volta i tre casi.

Somma algebrica tra due numeri concordi positivi

Non cambia nulla rispetto all’addizione aritmetica. Per cui banalmente

Somma algebrica di due numeri positivi concordi

Somma algebrica tra due numeri concordi negativi

Si scrive lo stesso segno, cioè quello negativo, e si sommano i due numeri.

Somma algebrica di due numeri negativi concordi

Somma algebrica tra due numeri discordi.

Facendo finta per un attimo che i segni non esistano, si valuta il numero più grande tra i due e si tiene il suo segno. Infine si fa la differenza tra i due numeri.

Esempio: Somma algebrica di numeri discordi

Considerando solo i due numeri, cioè 7 e 15, chiaramente il numero maggiore è 15. Il suo segno è negativo, per cui il risultato della somma è negativo. Infine basta fare la differenza tra i due numeri, cioè 15-7.
Per cui il risultato è il seguente:somma algebrica 1.3

Altri esempi:
Prova a verificare se i risultati delle seguenti addizioni sono esatte:

-10+3=-7+15-5=+10+23-40=-17

 

Sottrazione con i numeri relativi

Il discorso è perfettamente analogo con la sottrazione. La regola generale per risolvere la sottrazione con i numeri negativi è che il segno meno cambia il segno del numero.

Ad esempio:Sottrazione di numeri relativi, esempio 0

La parentesi è stata utilizzata perché in genere non si pongono due segni vicini senza una parentesi. Inoltre, poiché il segno meno cambia i segni degli elementi della parentesi successiva, l’equazione scritta diventa:

Sottrazione di numeri relativi, esempio 1

Risolvendo come già illustrato sulla somma algebrica di numeri relativi concordi negativi, ottengo

Sottrazione di numeri relativi, esempio 2

Altri esempi che puoi provare a risolvere:

Operazioni con i numeri razionali - sottrazione

Operazioni con i numeri razionali - sottrazione difficile

In quest’ultimo esempio è preferibile risolvere le addizioni in parentesi, in due passaggi distinti, e poi cambiare il segno.

Per allenarti su queste piccole equazioni, consultare il testo sulle somma algebriche.

La regola dei segni con le moltiplicazioni

La regola base da tener presente è:

(+)\cdot(-) = (-)

(-)\cdot(+) = (-)

(-)\cdot(-) = (+)(+)\cdot(+) = (+)

Nella regola dei segni basta ricordare che quando moltiplico due segni concordi il risultato è sempre positivo. Quando moltiplico due segni discordi il risultato è sempre negativo.

Per risolvere le moltiplicazioni tra numeri relativi basta infine moltiplicare i due numeri.

Ad esempio

(+3)\cdot(-5)=-15

Prova a verificare le moltiplicazioni seguenti:

(-3)\cdot(-4)=+12

(-\frac{1}{2})\cdot(+\frac{3}{5})=-\frac{3}{10}

Se hai avuto problemi con l’ultimo esercizio, prova a ripassare le operazioni con le frazioni.

Divisione tra numeri relativi

Non cambia nulla rispetto alla moltiplicazione. Si applica la regola dei segni e successivamente si esegue la divisione tra i numeri.

(-14):(-2)=+7

Ora prova tu a svolgere le divisioni tra numeri relativi seguenti:

(+40):(-4)=-10

(-\frac{32}{25}):(+\frac{2}{5})=-\frac{16}{5}

Anche in questo secondo esempio, se hai avuto difficoltà ti consigliamo di rivedere gli appunti sulle frazioni.

Potenze di numeri relativi

Mentre per il numero è sufficiente semplicemente elevare a potenza, per il segno basta ricordare che:

– se l’esponente è pari, il segno è sempre positivo

– se l’esponente è dispari, il segno non cambia

Esempi:

Potenze di numeri relativi - esempio 1

Potenze di numeri relativi - esempio 2

Se hai riscontrato difficoltà a svolgere questi due esercizi ti consigliamo di rivedere la lezione sulle proprietà delle potenze.

La parte teorica sulla operazioni sui numeri relativi è terminata. Ti consigliamo ora di esercitarti con i nostri esercizi sui numeri relativi svolti.

Nella prossima lezione parleremo delle espressioni algebriche col calcolo letterale, perché dobbiamo iniziare a ragionare non solo con i numeri, ma anche con le lettere. Per dubbi o informazioni non esitare a contattarci!