Somma degli angoli interni di un triangolo

Quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo generico? Come si dimostra? C’è qualche differenza in base al tipo di triangolo?

La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°.

Qualunque sia il tipo di triangolo, sommando gli angoli che si trovano all’interno della figura, il risultato è sempre pari all’angolo piatto.

somma-angoli-interni-triangolo

Possiamo dire quindi che la somma degli angoli interni di un triangolo rettangolo vale 180°, ma lo stesso risultato vale anche per il triangolo isoscele o il triangolo equilatero.

Teorema della somma degli angoli interni di un triangolo

Perché proprio 180° e non un altro angolo? A garantire la validità di questo risultato è un teorema di geometria il cui enunciato è:

La somma degli angoli interni di ogni triangolo è congruente ad un angolo piatto (180°)

Dimostrazione

Consideriamo un generico triangolo ABC come quello nella figura in alto. Sia AB la base e ne disegniamo la retta parallela passante per il punto C e prolunghiamo il lato AC.

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Ti ricordi delle rette parallele tagliate da una trasversale? In questa figura possiamo riconoscere che:

  • α=α1 poiché angoli corrispondenti;
  • β=β1 poiché angoli alterni interni;

Da notare che l’angolo che si forma sulla destra di C è un angolo piatto. Cioè possiamo scrivere che:

α1 + β1 + γ = 180°

che equivale a scrivere:

α + β + γ = 180°

Somma degli angoli interni di un triangolo (la formula generica)

In realtà c’è una formula che permette di calcolare la somma degli angoli interni di qualsiasi tipo di figura o poligono.

(180° · n) – 360°

dove n è il numero di lati del poligono considerato. Poiché i triangoli hanno 3 lati allora possiamo scrivere:

somma angoli interni triangolo = (180° · 3) – 360° =
=540°-360°=180°.

Conclusioni

Se la somma degli angoli esterni di un triangolo non è così fondamentale da sapere per lo svolgimento degli esercizi, la somma degli angoli interni va assolutamente ricordata perché ricorrerà in tantissimi tipi di problemi.

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