Incentro di un triangolo – che cos’è e come si trova?

L’incentro di un triangolo è dato dall’intersezione delle tre bisettrici. Ciò che molti studenti ignorano è che l’incentro non necessariamente si riferisce ai triangoli, ma può essere individuato in qualsiasi figura geometrica piana. Tuttavia nella maggior parte degli esercizi, questo punto notevole viene studiato solo in riferimento ai triangoli.

In questa lezione vedremo che cos’è e come si trova l’incentro facendo riferimento a tutti i tipi di triangoli esistenti, così da analizzarne i casi particolari che potrebbero essere chiesti durante un’interrogazione.

Definizione di incentro triangolo

Dato un generico triangolo scaleno di vertici ABC, si conducano per gli angoli A, B e C le rette bisettrici. Dalla loro intersezione si ottiene il punto I detto incentro del triangolo.

Definizione

L’incentro è il punto di intersezione delle bisettrici della figura geometrica.

Particolarità e proprietà dell’incentro

• L’incentro ricade sempre all’interno della figura.
• L’incentro coincide con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

• La posizione dell’incentro nel triangolo scaleno non segue regole precise ma dipende solo dalla posizione dei vertici. Vedremo in altri triangoli che si possono fare delle semplificazioni.
• L’incentro è equidistante da tutti i lati del triangolo. Per distanza si intende il segmento che parte dal punto I e cade perpendicolarmente sul lato opposto. (per studenti delle superiori vedi il calcolo della distanza di un punto da una retta)
• La bisettrici del triangolo vengono suddivise in maniera tale che si forma una proporzione con il lato adiacente e una parte del lato opposto al vertice da cui parte la bisettrice.

Considerando ad esempio il triangolo ABC in figura considerando la bisettrice CH, si genera la proporzionalità:

CI:IK=AC:AH=CB:HB

Si tratta di una proprietà non sempre presente nei libri di testo ma che riportiamo per completezza. Di seguito vedremo come si trova l’incentro nei vari tipi di triangoli. Per quanto riguarda l’incentro del triangolo rettangolo valgono le stesse considerazioni fatte con lo scaleno.

Incentro triangolo isoscele

L’incentro di un triangolo isoscele è dato dall’intersezione delle tre bisettrici ed è sempre situato sull’altezza relativa alla base del triangolo. Questo significa che in base alla posizione del vertice superiore, può cambiare solo l’altezza dell’incentro, cioè può essere più o meno vicina alla base.

In realtà, volendo essere più precisi, si dice che l’incentro del triangolo isoscele giace su quella che viene definita retta di Eulero. Questa retta è il luogo dei punti su cui sono sempre allineati ortocentro, baricentro e circocentro.

Incentro triangolo equilatero

L’incentro di un triangolo equilatero coincide con ortocentro, baricentro e circocentro. Questo perché altezza, mediana, asse e bisettrice coincidono quando tutti i lati del triangolo sono uguali.

Calcolo dell’incentro di un triangolo

Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori o università che stanno studiando o approfondendo il programma di geometria analitica. Esiste una formula per calcolare l’incentro di un triangolo ed è molto simile a quella usata per il calcolo del punto medio di un segmento.

Dato il triangolo scaleno di vertici ABC, di coordinate A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C) e date le misure dei lati BC=a, b=CA e c=AB, allora:

I ( x_I , y_I )

dove 2p= misura del perimetro del triangolo = a + b + c.