Rette parallele e perpendicolari sul piano cartesiano

Continuiamo la trattazione della retta andando a definire cosa sono, come studiare e quindi le formule delle rette parallele e perpendicolari sul piano cartesiano.

Gli argomenti della lezione

Definizione di rette parallele

Definizione di rette perpendicolari

Formula delle rette parallele e perpendicolari

Qualche esempio per iniziare

Esercizi svolti


Dopo aver parlato dell’equazione della retta nella scorsa lezione, oggi parleremo di rette parallele e perpendicolari; formule e definizioni non saranno pi√Ļ un mistero e riusciremo a fine lezione a trattare un argomento che √® pi√Ļ semplice di quello che si pensi.

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Definizione di rette parallele

Tralasciando le trattazione universitaria sui punti impropri, ci può essere sufficiente la definizione che viene data nelle scuole primarie:

Per definizione due rette sono parallele quando non si intersecano mai

definizione-rette-parallele

Definizione di rette parallele

Questo significa che due rette parallele possono essere semplicemente viste ¬†come due retta traslate, cio√® “spostate” senza aver subito alcuna rotazione.

Definizione di rette perpendicolari

Molto semplicemente possiamo dire che:

Per definizione due rette perpendicolari sono due rette  che, intersecandosi, formano 4 angoli retti.

Definizione Rette Perpendicolari

Definizione di rette perpendicolari

Rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano

Ricordi l’equazione esplicita della retta y=mx+q ? Abbiamo detto che m si chiama coefficiente angolare e rappresenta l’inclinazione della retta. Non ci vuol molto ad osservare che due rette parallele per definizione hanno la stessa inclinazione. Per cui possiamo dire che:

rette-parallele-piano-cartesiano

Condizione di parallelismo nel piano cartesiano

Condizione necessaria e sufficiente affinché ci sia parallelismo è che le due rette abbiano lo stesso coefficiente angolare.

Nel caso in cui, invece, mi trovo di fronte a due rette parallele, la formula riguarda sempre il coefficiente angolare, ma questa volta devo scrivere:

Condizione necessaria e sufficiente affinché ci sia perpendicolarità è che i coefficienti angolari siano antireciproci tra loro.

rette-perpendicolari-piano-cartesiano

Condizione di perpendicolarità nel piano cartesiano

Esempi di rette parallele e perpendicolari

y=3x+4 e y=3x+2 sono rette parallele in quanto il coefficiente angolare m è lo stesso, cioè pari a 3.

y=3x+3 e y=-1/3 x+3 sono rette¬†perpendicolari in quanto il coefficienti angolare del¬†secondo¬†√® l’antireciproco del primo.

Sostanzialmente, quando in un problema di geometria analitica, la traccia ci suggerisce la perpendicolarità o il parallelismo tra due rette, vuol dire che sta fornendo una fondamentale informazione sul coefficiente angolare.

Esercizi svolti

  1. Trovare l’equazione della retta s parallela alla retta r:y=3x+2 e passante per l’origine.
    La retta che dobbiamo calcolare è s e, dato che non conosciamo nulla, partiamo dalla formula esplicita della retta, cioè s:y=mx+q. Le nostre incognite sono m e q.Poiché la traccia ci ha già detto che r ed s sono rette parallele nel piano cartesiano, allora hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè m=3.
    Dobbiamo solo calcolare q. Ci serve quindi un altro dato. La traccia ci dice anche che passa per l’origine, cio√® il punto O(0,0) appartiene alla retta. Per cui andando a sostituire il punto O nell’equazione della retta ho:
    y=mx+q
    0=m0+q
    q=0
    Poich√® m=3 e q=0, allora ho trovato l’equazione della retta s:y=3x
  2. Trovare l’equazione della retta t perpendicolare alla retta r:x+y-1=0 e passante per il punto Q(0;2)
    Anche in questo caso l’equazione della retta generica da cui partire √® t:y=mx+q dove le nostre incognite sono m e q.Poich√© ha evidenziato che t ed r sono rette perpendicolari nel piano cartesiano, vuol dire che il coefficiente angolare di t √® l’antireciproco di r. Quanto vale il coefficiente angolare di r? Basta trasformare la formula della retta da implicita ad esplicita:
    x+y-1=0
    y=-x+1 –> m=-1
    Posso quindi calcolare il coefficiente angolare di t=-(-1/1)=+1
    Resta solo da calcolare il termine noto della retta (q). Ci serve un secondo dato oltre alla condizione di perpendicolarit√†. Dato che ci viene fornito come sempre dalla traccia, dato che la retta t passa per il punto Q. Questo vuol dire che posso sostituire le coordinate di Q nell’equazione della retta generica.
    t:y=mx+q
    2=m0+q
    q=2
    Trovati m e q, ho cos√¨ risolto il problema e l’equazione della retta √®: t:y=1x+2 che posso anche scrivere come t:y=x+2
    Puoi provare, in alternativa, a risolvere l’esercizio diversamente usando la formula della retta passante per un punto che troverai nelle prossime lezioni.

4 Commenti

  1. Sara 8 Giu 2016
    • Paolo - admin 9 Giu 2016
  2. Sara 10 Giu 2016
    • Paolo - admin 10 Giu 2016

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