Ellisse formule ed equazioni – il formulario completo

In questa pagina vedremo uno schema completo con tutte le formule dell’ellisse, dalla definizione delle forma canonica sino alle formule pi√Ļ complesse per le traslazioni. Vedremo come si calcolano eccentricit√†, formule, vertici in caso sia di ellisse orizzontale che verticale.

Nella lezione di introduzione all’ellisse abbiamo gi√† visto nel dettaglio tutta la parte teorica. Abbiamo visto che cosa sono eccentrit√†, assi di simmetria e fuochi. Lo scopo di questa lezione √® fare una sintesi completa che raccoglie in un’unico formulario tutte le equazioni e le formule dell’ellisse.

Formule ellisse con i fuochi sull’asse x

ellisse-formule

Equazione canonica o normale

formula-ellisse

dove a>b e b²=a²-c²

Vertici

A1(a;0) A2(-a;0) B1(0;b) B2(0;-b)

Lunghezza asse maggiore

A1A2=2a

Lunghezza asse minore

B1B2=2b

Fuochi

F1(c;0) F2(-c;0) con c>a

Formula eccentricità

e=c/a
dove 0<c<1


Formule ellisse con fuochi sull’asse y

formule-ellisse-verticale

Equazione canonica o normale

formula-ellisse-verticale

dove b>a e b²=a²-c²

Vertici

A1(a;0) A2(-a;0) B1(0;b) B2(0;-b)

Lunghezza asse maggiore

B1B2=2b

Lunghezza asse minore

A1A2=2a

Fuochi

F1(0;c) F2(0;-c) con c>b

Formula eccentricità

e=c/b
dove 0<c<1

Alcuni approfondimenti sulle formule dell’ellisse

Cos√¨ come la circonferenza, la formula dell’ellisse √® di tipo quadratico. Entrambe le incognite compaiono con l’esponente 2, ma a differenza della circonferenza hanno un coefficiente diverso. Inoltre non sono presenti termini di primo grado o termini misti come xy, per cui la figura √® sempre simmetrica rispetto ai suoi due assi perpendicolari.

Altra caratteristica in comune con la circonferenza √® che la formula dell’ellisse canonica √® un’equazione che non rappresenta una funzione. Ti ricordi la definizione di funzione? … ad ogni valore di x si associa uno e un solo valore di y. Se provi a guardare il grafico dell’ellisse e tiri una linea verticale all’interno della figura, ti renderai conto che ci sono due punti di intersezione. Cio√® per un valore di x ci sono due valori di y differenti, per cui l’equazione dell’ellisse non √® una funzione.

Le formule dell’ellisse sono diverse a seconda che i fuochi si trovino sull’asse delle x o su quello delle y. Nel primo caso la figura avr√† un’estensione orizzontale all’interno del piano cartesiano. Nel secondo caso sar√† disposta in modo verticale, cio√® con l’asse maggiore parallelo all’asse delle ordinate.

La figura ha 4 vertici che corrispondono alle intersezioni con gli assi, simmetrici tra loro rispetto proprio rispetto agli assi.

Per quanto riguarda infine l’eccentricit√† dell’ellisse, √® questo un parametro che misura lo schiacciamento della figura geometrica rispetto agli assi. Pi√Ļ l’eccentricit√† √® bassa e pi√Ļ la figura tende a schiacciarsi. I due casi estremi sono:

  • e=0 ‚Üí l’eccentricit√† √® nulla, per cui l’ellisse degenera in un segmento.
  • e=1 ‚Üí l’eccentricit√† √® massima, per cui l’ellisse degenera in una circonferenza.

Formule ellisse traslata

Data l’ellisse¬†ő≥, applichiamo a questa la traslazione di vettore v(x0;y0), otteniamo la figura:

formule-ellisse-traslata

La nuova curva¬†ő≥0 √® un’ellisse avente il centro O'(x0;y0) e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani e di equazioni rispettivamente x=x0 e y=y0. La formula dell’ellisse traslata √® l’equazione:

formula-ellisse-traslata

Vertici

A1(x0+a;y0) A2(x0-a;y0) B1(x0;y0+b) B2(x0;y0-b)

Fuochi

se a>b → F1(x0+c;y0) F2(x0-c;y0) con c²=a²-b²

se b>a → F1(x0;y0+c) F2(x0;y0-c) con c²=b²-a²

Lascia un commento