Formule di bisezione seno e coseno, tabella e dimostrazione

Le formule di bisezione sono delle formule trigonometriche che permettono di calcolare seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un angolo. La trasformazione avviene portando tutto in funzione del coseno.

In questa lezione vedremo quali sono le formule di bisezione del seno, coseno e tangente analizzando alcuni facili esempi per capire come si usano. Nella seconda parte vedremo la dimostrazione che ti consigliamo di non sottovalutare perché richiama le formule di duplicazione.

Formule di bisezione

Formula di bisezione del seno

formula-bisezione-del-seno

Formula di bisezione del coseno

formule-bisezione-coseno

Formula di bisezione della tangenteformula-bisezione-tangente

oppure

formula-bisezione-tangente-2

ATTENZIONE: La formula di bisezione per la tangente è valida solo se viene soddisfatta la condizione di esistenza (denominatore diverso da 0). Cioè:

  • 1+cosα≠0 → α≠180°+kπ
  • sinα≠0 → α≠kπ

Esempi svolti

Determiniamo le funzioni goniometriche di 22,5°.

L’angolo su cui ci viene chiesto di eseguire uno studio è la metà dell’angolo di 45°. Per questa ragione possiamo calcolare seno, coseno e tangente di 45°/2.

formule-bisezione-esempi

Dimostrazione formule bisezione seno e coseno

Si parte dalla formula di duplicazione del coseno per ottenere le formule di bisezione del seno e coseno. Abbiamo già visto nelle precedenti lezioni che possono essere anche scritte come:

formula-duplicazione-coseno-regola

Partendo dalla formula di duplicazione del coseno al quadrato, andiamo a sostituire a al posto di 2e a/2 al posto di a. In questo modo otteniamo delle nuove formule:

formule-bisezione-dimostrazione

Portandoci i termini con l’angolo diviso a sinistra e lasciando tutto il resto a destra otteniamo:

formula-bisezione-coseno-al-quadrato

Basta poi fare la radice quadrata delle formule di bisezione del coseno e del seno per ottenere quelle definitive che vedremo poi nella tabella riassuntiva.

Dimostrazione formula bisezione tangente e cotangente

Trovate le formule di seno e coseno al quadrato, basta sfruttare le relazioni fondamentali della trigonometria per andare avanti con le dimostrazioni. Ecco come si fa la dimostrazione della formula bisezione della tangente.

formule-bisezione-tangente-cotangente

In realtà tangente e cotangente possono anche essere espresse in questo ulteriore maniera:

bisezione-formule-tangente-cotangente

Formule bisezione, esercizi svolti

In questo ultimo paragrafo vedremo come si usano le formule di bisezione con degli esempi pratici con cui provare le formule appena calcolate.

Esercizio svolto 1

formule-bisezione-esercizio-1

In questo primo facile esercizio, è stata applicata la formula di bisezione della tangente. Dopo pochi calcoli algebrici è stata applicata la razionalizzazione dei radicali moltiplicando e dividendo per la radice quadrata di 2.

Esercizio svolto 2

Sapendo che tga=2 e che 0<a<π, determiniamo tg(5/2 a).

Si tratta di un esercizio difficile ma che si basa su una sola riflessione. Non potendo fare la tangente di 5/2 dell’angolo, è necessario dividere quella frazione in due addendi che possiamo risolvere in maniera più semplice. Poiché 5/2 = 1/2 + 2, allora possiamo trasformare la traccia dell’esercizio:

formule-bisezione-esercizio-2

Come puoi vedere è stato trasformato prima l’angolo 5/2 e poi è stata applicata la formula di addizione della tangente. A questo punto possiamo calcolare separatamente la tg2a attraverso le formule di duplicazione e la tga/2 con la formula di bisezione della tangente.

esercizio-formule-bisezione-2

A questo punto è sufficiente andare a sostituire nella traccia modificata in precedenza i risultati così ottenuti.

esercizi-con-risultati-formule-bisezione

Conclusioni

Durante i compiti in classe le formule di bisezione non compaiono spesso quanto quelle di duplicazione, soprattutto quando il programma diventa più avanzato. Tuttavia restano queste una delle più importanti formule goniometriche e vanno assolutamente imparate a memoria.

Se la lezione è stata di tuo gradimento, se è stata in qualche modo utile o se hai ancora dei dubbi, scrivi in basso nei commenti. Il nostro staff è a tua disposizione.

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