Formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo

La formula di Erone è uno dei metodi meno conosciuti per calcolare l’area di un triangolo generico note le misure dei tre lati.

Dato un triangolo i cui lati misurano a, b, c, il cui semiperimetro vale p, allora l’area si può calcolare come:

formula-di-erone

Enunciato e definizione

L’area di un triangolo generico è pari alla radice quadrata del semiperimetro per la differenza tra semiperimetro meno il primo lato, moltiplicato per la differenza tra semiperimetro meno il secondo lato, moltiplicato la differenza tra semiperimetro e terzo lato.

Osservazioni:

Come si nota dall’enunciato, nella formula di Erone sono presenti le misure dei tre lati del triangolo generico e la misura del semi-perimetro. Questo significa che, volendo calcolare l’area di un triangolo con la formula di Erone, serve il perimetro (da dividere per 2) e tutti i lati noti.

Come applicare la formula di Erone

Immaginiamo di conoscere tutti e tre i lati di un triangolo. Se si trattasse di un triangolo rettangolo potremmo calcolare l’area sfruttando la formula cateto maggiore per cateto minore diviso due. Ma se il triangolo è scaleno l’unica formula utilizzabile è base per altezza diviso due. Per calcolare l’altezza possono essere necessari tanti calcoli non sempre semplici per cui può essere utile e rapido applicare la formula di Erone.

Alcuni problemi con la formula di Erone

Esercizio 1

Calcolare l’area di un triangolo scaleno con i lati di dimensioni pari a 2cm, 3cm e 4cm.

Svolgimento

Iniziamo calcolando il perimetro, poi il semiperimetro, del triangolo. Essendo i numeri molto semplici possiamo scrivere

2p=a+b+c=2+3+4=9cm

p=9/2=4,5 cm

Posso già procedere con l’applicazione della Formula di Erone, andando a sostituire i dati:

formula-erone-area

Esercizio 2

I lati di un triangolo misurano 10, 12 e 15 cm. Calcolare la misura dell’area del triangolo e del cerchio inscritto.

Svolgimento

Possiamo applicare direttamente la formula di Erone al triangolo dopo aver calcolato il semiperimetro.

formula-erone-perimetro

Di seguito applichiamo la formula dell’area:

formula-erone-triangolo

Formula di Erone dimostrazione

La dimostrazione della formula di Erone è un po’ lunga e laboriosa. Per cui cerchiamo di vederla semplificando al massimo i vari passaggi.

Disegniamo innanzitutto un triangolo scaleno di lati a, b, c e tracciamo l’altezza h relativa alla base c.

formula-di-erone-dimostrazione

La base b resta divisa in due parti x e (b-x). Per calcolare quanto vale x, applichiamo il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli.

Per i due triangoli vale la relazione:

dimostrazione-formula-erone

Uguagliamo le due misure, dato che si tratta della stessa altezza, per poter così calcolare il valore dell’incognita x.

dimostrazione-formula-di-erone

Una volta trovata l’incognita x, possiamo sostituirla nella formula dell’altezza.

dimostrazione-erone-formula

Per cui possiamo calcolare l’area del triangolo scaleno usando la formula classica: base per altezza diviso 2.

area-formula-erone-1

In alcuni libri questa che abbiamo trovato viene presentata come una prima formula di Erone. Tuttavia risulta abbastanza difficile da ricordare per cui sono necessarie alcuni passaggi algebrici per renderla più semplice.

Il prossimo passaggio è quello di portare tutto all’interno della radice:

formula-erone-passaggi

Una volta effettuata la semplificazione in rosso, otteniamo:

formula-erone-spiegazione

Ti ricordi che nei prodotti notevoli abbiamo parlato di differenza di quadrati? Eseguendo la scomposizione otteniamo:

dimostrazione-formula-erone-passaggi

Nell’ultimo passaggio abbiamo scomposto i termini in parentesi in quadrati di binomio. Ora, ripetiamo la scomposizione della differenza di quadrati.

passaggio-formula-erone

Ora possiamo considerare a+b-c come a+b+c-2c così che la somma dei primi tre sia il perimetro. Stacchiamo inoltre le varie parentesi per ottenere 4 prodotti.

formula-di-erone-dimostrazione-completa

Dove (a+b+c)/2 è il semiperimetro p del triangolo. In questo modo abbiamo così completato la dimostrazione della formula di Erone.

Conclusioni

La formula di Erone può essere utile nello svolgimento di alcuni problemi di geometria per il calcolo dell’area di un triangolo generico. In genere si preferiscono altre formule, per rendere il calcolo meno numerico, ma va tenuta presente come un’utile alternativa.

Hai trovato le risposte che cercavi con questa lezione? Hai risolto i tuoi dubbi? Lascia un commento in basso, ci aiuterai a rendere più completi gli appunti e le dispense che ogni giorni ti offriamo gratuitamente.

Una risposta

  1. joseph 20 Maggio 2019

Lascia un commento