Equazioni di primo grado, spiegazione ed esempi svolti

Le equazioni di primo grado sono delle “uguaglianze” matematiche in cui compare l’incognita x di primo grado, cioè non troverai né quadrati o cubi. In questa lezione vedremo una spiegazione su come si risolvono le equazioni di primo grado con degli esempi svolti passo passo.

Le equazioni di primo grado ad un’incognita sono il primo tipo di equazioni che si studiano in matematica. Sono le più semplici e permettono di apprendere dei concetti e dei metodi di calcolo che saranno poi utili anche in tutte gli altri tipi di equazioni.

Gli argomenti della lezione


Che cos’è un’equazione di primo grado

Si chiama equazione di primo grado, l’uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo attribuendo alle lettere particolari valori, che si chiamano soluzioni. Il grado massimo del polinomio è 1.

Diciamo inoltre che si definisce PRIMO MEMBRO tutto ciò che sta a sinistra dell’uguale, mentre a destra ho il SECONDO MEMBRO.

polinomio al primo membro = polinomio al secondo membro

Sostanzialmente è questa la spiegazione sulle equazioni di primo grado. Se non ti è ancora chiaro che cos’è un’equazione di primo grado, facciamo un esempio:

2x+3=13

In questa equazione di primo grado ho una sola incognita – cioè una lettera di cui devo calcolare il valore – e devo fare in modo che, assegnando un valore alla x, il primo membro sia uguale al secondo membro. Cioè il risultato deve essere 13.

Anche se non sappiamo ancora bene il perché, l’unico valore che posso dare alla x per fare in modo che il primo membro sia pari a 13 è 5. Infatti:

2(5)+3=13 → 13=13

Puoi verificare da solo che qualsiasi altro valore io attribuisco alla x, il risultato non si troverà mai!

Ecco quindi qual è la spiegazione per le equazioni di primo grado: sono uguaglianze che si verificano solo attribuendo particolari valori alle incognite presenti.

Si dice di primo grado, infine, perché il grado massimo del polinomio – cioè l’esponente massimo dell’equazione, è pari a uno. Negli esempi qui sotto puoi vedere tre equazioni praticamente identiche: cambia solo l’esponente. Avrò così un’equazione di quarto grado, di terzo grado e di secondo grado.

grado-equazione-esempi

Quante sono le Soluzioni delle equazioni?

Se più che una spiegazione sulle equazioni di primo grado stai cercando un trucco per risolverle o almeno per sapere quante soluzioni ha il tuo esercizio, ecco cosa ricordare. Il grado corrisponde anche al numero di soluzioni. Cioè per le equazioni di primo grado ho una sola soluzione da calcolare, per quelle di secondo grado ho due soluzioni, eccetera…

Equazioni di primo grado con frazioni e intere

A seconda della posizione dell’incognita – in genere indicata con la lettera x – possiamo avere equazioni di primo grado intere o fratte. Nel primo caso la x si troverà solo al numeratore. Nelle equazioni di primo grado fratte, invece ho l’incognita anche al denominatore. Queste ultime, tuttavia le studieremo in maniera più approfondita nella lezione sulle equazioni fratte di primo grado.

Regole delle equazioni

So che a questo punto la tua domanda è: “però non ho ancora capito come si fanno le equazioni di I grado“, ma ancora un attimo di pazienza.  Siamo arrivati finalmente alle regole da utilizzare negli esercizi.

Per risolvere le equazioni di primo grado, ma in generale di qualsiasi grado, bisogna ricordare due semplici regole:

  1. Principio di Addizione e Sottrazione: aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione il risultato non cambia.
  2. Principio di Moltiplicazione e Divisione: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell’equazione per una stessa quantità il risultato non cambia.

Le due regole viste sono fondamentali per risolvere le equazioni di primo grado. Possiamo capire il perché risolvendo un semplice esempio:

2x+3=13

Ricordiamoci questo semplice trucco per risolvere le equazioni di primo grado:

Al primo membro devono restare solo le incognite con i rispettivi coefficienti, cioè i numeri davanti la x. I termini noti, cioè i numeri senza la x, vanno tutti al secondo membro.

Per ottenere ciò applichiamo la proprietà dell’addizione e sottrazione all’esempio visto:

2x+3=13 → 2x+3-3=13-3

Per eliminare il termine noto a primo membro (cioè il +3) ho sottratto per la sua stessa quantità. In questo modo, poiché +3-3 fa 0, a primo membro mi resta solo la x. Ovviamente la sottrazione l’ho fatta anche a destra…

2x=13-3

Guardiamo bene la differenza tra la traccia e il risultato appena ottenuto. E’ come se avessi spostato il termine noto a destra cambiando il segno. Abbiamo scoperto una cosa importantissima proprio dalla proprietà dell’addizione e sottrazione:

Qualsiasi elemento (che si somma o si sottrae) può essere spostato da un membro all’altro semplicemente cambiandolo di segno! Se c’è “meno” metto “più” e viceversa.

Così facendo siamo riusciti ad isolare la x a sinistra da sola con il suo coefficiente (cioè il 2). Risolvendo la sottrazione a secondo membro ho:

2x=10 → 2x:2=10:2

A questo punto per isolare la x anche dal suo coefficiente, divido per due sia primo che secondo membro:

x=10:2 → x=5

Ho scoperto che il 2 che era a sinistra moltiplicato per la x è passato a destra con il segno diviso! Ecco così la seconda regola per risolvere le equazioni di primo grado lineari:

Qualsiasi elemento, che si moltiplica o divide, può essere spostato da un membro all’altro cambiando il segno! Se c’è “PER” metto “DIVISO” e viceversa.

Questa regola vale ovviamente anche per gli esercizi sulle equazioni di primo grado con le frazioni e non solo per le intere.. Il “per” diventa “diviso” e viceversa, abbiamo detto. Nelle frazioni i numeri a denominatore possono essere passati all’altro membro mettendoli a numeratore e viceversa.

Le regole da apprendere per risolvere le equazioni di primo grado sono terminate. Se sei un po’ confuso è normale, dopo tanta teoria, ma vedremo tra poco che risolvere gli esercizi sulle equazioni di primo grado è estremamente semplice e soprattutto meccanico: una volta capito il meccanismo gli esercizi si risolvono tutti allo stesso modo.

Come risolvere le equazioni di primo grado passo passo

Vediamo ora un paio di semplici guidati e commentati per fare chiarezza. Risolvere le seguenti equazioni di primo grado:

3x+2x-5=4x+3-2x

  1. Usando la regola dell’addizione e sottrazione, sposto tutte le incognite a sinistra e i termini noti a destra. Nello spostamento ricordiamoci di cambiare i segni.
    3x+2x+2x-4x=+3+5
  2. Sommo a questo punto tutti i termini simili – cioè con la stessa parte letterale, se hai dubbi rileggi un attimo la lezione sui monomi.
    3x=8
  3. Ho ottenuto un’equazione di primo grado nella sua forma base, cioè ax=b. Sposto il coefficiente della x a destra facendolo diventare un denominatore e ho risolto.
    3x=8 → x=8/3

Passiamo al secondo esercizio. Stessa traccia, ecco l’equazione da risolvere:

equazione-traccia-primo-grado

 

Dato che c’è una frazione c’è solo un passaggio in più da aggiungere: il calcolo del minimo comune multiplo, per cui:

  1. Calcolo il minimo comune multiplo e risolvo normalmente le frazioni. Quindi minimo comune multiplo diviso denominatore e moltiplico per numeratore:
    svolgimento-equazione-i-grado
  2. Una volta eseguito il calcolo del minimo comune multiplo, posso eliminare entrambi i denominatori.
    3x-2=8x+6
  3. Siamo arrivati al primo punto dell’esercizio precedente. Sposto tutti i termini con la x a sinistra, tutti i termini noti a destra.
    3x-8x=6+2
  4. Sommo algebricamente i termini simili e mi riconduco alla forma base delle equazioni di primo grado (cioè ax=b). Eventualmente il segno meno a primo membro va spostato a secondo membro.
    -5x=+8 → 5x=-8
  5. Trasporto il coefficiente della x al denominatore del secondo membro e ho completato l’esercizio.
    x=-8/5

Concludiamo facendo il punto della situazione. In questa lezione abbiamo appreso che cos’è un’equazione di primo grado e come risolvere i primi più semplici esercizi sulle equazioni con le frazioni, (non quelle fratte di cui parleremo in seguito). A questo punto non resta che esercitarsi e passare agli esercizi sulle equazioni di primo grado.

Per riferimenti bibliografici ti rimandiamo al testo Matematico Bianco – Equazioni e Disequazioni di Primo Grado.

Se non ti è chiaro qualcosa delle lezione, se hai dubbi o difficoltà, restiamo come sempre a tua disposizione. Contattaci e risolveremo ogni tuo problema.

7 Commenti

  1. Paolo 26 dicembre 2016
  2. gianluca 7 maggio 2017
  3. Lina 20 aprile 2018
  4. Riccardo 27 maggio 2018
  5. corrado 18 settembre 2018
  6. Miria 29 settembre 2018
    • Paolo Calicchio 29 settembre 2018

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