Equazioni spuria – come risolvere rapidamente le equazioni spurie di secondo grado

Un’equazione spuria di secondo grado si definisce tale quando manca il termine noto, ovvero il coefficiente senza l’incognita x. Si risolve in maniera molto semplice ed intuitiva e non sono necessari calcoli o tecniche risolutive particolari.

E’ uno dei primi argomenti che riguardano le equazioni di secondo grado: le equazioni spurie sono un caso particolare di queste ultime e permettono di trovare le due soluzioni senza dover usare metodi più elaborati, come il calcolo del delta o il metodo somma e prodotto.

Che cos’è un’equazione spuria

Data l’equazione generale ax²+bx+c=0, nel caso in cui c=0, ottengo:

ax²+bx=0
(Definizione di equazione spuria)

Come si può notare manca il termine noto, cioè il coefficiente numerico puro. In questi casi la tecnica di risoluzione è decisamente più semplice.

Come si risolve un’equazione spuria

Mentre nelle equazioni di secondo grado normali possono essere necessari dei calcoli che ci impegnano per qualche minuto, le equazioni spurie si risolvono in 2 semplici passaggi:

1. raccoglimento a fattor comune della x
2. applicazione della legge dell’annullamento del prodotto.

Ricordati innanzitutto che nelle equazioni spurie tutti gli addendi devono trovarsi al primo membro. Al secondo membro resta solo lo zero. Per cui, prima ancora di iniziare a far calcoli o operazioni matematiche, porta tutto a sinistra. Questo significa che per risolvere un’equazione spuria è sufficiente mettere in evidenza la x come primo passaggio. Quindi si ha che:

ax²+bx=0 → x(ax+b)=0

Se non ricordi come si effettua questa operazione, dai una rapida lettura ai nostri appunti di matematica su come si fa il raccoglimento totale. A questo punto si applica la legge dell’annullamento del prodotto.

Ricordando cioè che A*B=0 → A=0 e B=0, allora vale che:

x(ax+b)=0 → x=0 e ax+b=0

x=0 è già la prima soluzione del problema. ax+b=0 è una banalissima equazione di primo grado che mi dà come risultato x=-b/a. Ecco quindi che in 2-3 passaggi ho risolto l’equazione spuria di secondo grado.

Non c’è altro da dire a livello teorico, proviamo subito a mettere in pratica quanto abbiamo detto fino ad ora con un semplice esempio

Esempio

Risolvere l’equazione spuria: 5x²+10x=0

Il primo passaggio, come detto, è quello di raccogliere la x ed eventualmente un coefficiente comune ai due addendi. Otteniamo così:

5x(x+2)=0

Prima soluzione: x=0

Seconda soluzione: x+2=0 → x=-2

Equazioni spurie esercizi

Tracce

1. (x-3)²=9-5x
2. 4(x²-x)=5x²
3. (x-1)²=3x+1
4. (x-7)²+9x= 2x²+49

Soluzioni

Esercizio 1 con commento.

(x-3)²=9-5x

x²-6x+9=9-5x → In questo primo passaggio, semplicemente svolgo il quadrato di binomio.

x²-6x=-5x → elimino il 9 a destra e a sinistra.

x²-6x+5x=0 → porto tutto a sinistra.

x²-x=0 → eseguo la somma algebrica tra i monomi simili.

x(x-1)=0 → è stata raccolta la x

x=0 e x=1 → applicata la legge dell’annullamento del prodotto che ha portato subito a trovare le soluzioni dell’equazione spuria.

Esercizio 2.

4(x²-x)=5x²

4x²-4x=5x²  → 4x²-4x-5x² =0 → -x² -4x=0 → x(x-4)=0 → x=0 e x=4

Esercizio 3.

(x-1)²=3x+1

x²-2x+1=3x+1 → x²-2x+1-3x-1=0 → x²-5x=0 → x(x-5)=0 → x=0 e x=5

Esercizio 4.

(x-7)²+9x= 2x²+49

x²-14x+49+9x= 2x²+49 → x²-14x+9x= 2x² → x²-5x-2x²=0 → -x²-5x=0 → x²+5x=0 → x(x+5)=0 → x=0 e x=-5

Conclusioni

Come hai avuto modo di vedere, le equazioni spurie si risolvono in pochi semplici passaggi. L’esercizio può essere magari più complesso, con la presenza di radici o frazioni, ma il meccanismo non cambia. Raccoglimento totale e legge dell’annullamento del prodotto.