Le equazioni parametriche di secondo grado sono un particolare tipo di equazioni letterali in cui nella traccia viene richiesto di trovare il parametro affinché si verifichino determinate condizioni.
Si tratta di un argomento che nella maggior parte delle volte viene affrontato con superficialità non solo dagli studenti ma anche dagli insegnanti, che non danno troppo peso a questi esercizi. Peccato che poi escono quasi sempre nelle verifiche e nei compiti in classe di matematica.
Puoi riconoscerle facilmente dalla traccia perché ti troverai a dover risolvere equazioni di secondo grado parametriche in cui hai altre lettere oltre alla x. Quali sono i parametri? In genere si utilizza la lettera “a” oppure il più classico dei parametri “k”. Come si risolvono queste equazioni letterali? Vediamo quali sono gli esempi e gli esercizi più frequenti che si trovano durante i compiti.
1. Determinare il parametro k per cui c’è 1 sola soluzione
Questa è una delle più classiche richieste che si trova nella traccia. L’alternativa è di trovarla scritta anche come “trovare il parametro k per cui l’equazione ha due soluzioni coincidenti.
La traccia quindi ti chiede quanto vale il parametro k affinché x1=x2. Ti ricordiamo che, per quanto appreso dalla teoria sulle equazioni di secondo grado, si hanno due soluzioni coincidenti nel caso in cui Δ=0.
Ecco quindi come risolvere un’equazione letterale di secondo grado in cui le due soluzioni devono essere uguali.
Δ=0 → b2-4ac=0
Sostituisco quindi i vari coefficienti nell’equazione appena descritta, non dimenticando di inserire anche il parametro k. Troverò quindi un’equazione di secondo grado con la lettera k al posto della x da risolvere normalmente con il delta.
2. Determinare il parametro k per cui l’equazione è impossibile
Nel caso in cui venga chiesto di trovare la lettera nel caso in cui la soluzione non sia reale, vuol dire che dovremo imporre la condizione Δ<0. Per cui otteniamo:
Δ<0 → b2-4ac<0
Anche in questo caso andrò a sostituire i coefficienti dell’equazione di secondo grado letterale all’interno di quest’ultima espressione. Ottengo così una disequazione di secondo grado da risolvere con i metodi classici.
3. Determinare il parametro k per cui l’equazione ammette due soluzioni distinte
Se l’equazione parametrica di secondo grado richiede nella traccia di trovare 2 soluzioni, allora la condizione da imporre è delta maggiore di zero.
Δ>0 → b2-4ac>0
Il caso è analogo al precedente, cambia semplicemente il verso della disequazione, ma il modo per risolverla resta lo stesso.
4. Operazioni con le radici
In modo completamente differente si risolvono le equazioni letterali di secondo grado in cui la traccia chiede di trovare il parametro k affinché, la somma o il prodotto tra le radici sia pari ad un numero. Vuoi che faccia un esempio?
Esempio di traccia: determina i valori del parametro quando il prodotto delle radici è pari a 1
Per risolvere le equazioni parametriche di II grado in questo modo è fondamentale ricordare che, date le soluzioni dell’equazione, si definiscono:
somma= x1+x2 = s = -b/a
prodotto= x1 * x2 = p = c/a
Questo vuol dire che prendiamo ciò che ci chiede la traccia (nell’esempio: “il prodotto delle radici”) e proviamo a trasformarla fino a quando non troviamo x1+x2, cioè una somma, oppure x1 * x2 ovvero un prodotto.
Nel nostro esempio come possiamo procedere? Iniziamo traducendo matematicamente che il prodotto delle soluzioni è pari a 1. Questo vuol dire che:
x1 * x2=1 → p=1 (dove p = prodotto) → c/a=1 → sostituisco i coefficienti dell’equazione letterale della traccia e trovo la soluzione.
Esempio
Data l’equazione parametrica di secondo grado nell’incognita x, determina i valori del parametro relativi alle condizioni esposte:
2x2+(3-2k)x-3k=0
- le radici sono reali;
- la differenza delle radici è 1;
- il prodotto dei reciproci delle radici è 1/3;
- una radice è doppia dell’altra.
Svolgimento
La prima parte dell’equazione parametrica di secondo grado viene risolta imponendo l’equazione di esistenza con il delta maggiore o uguale di zero.
Nella seconda parte viene chiesto invece quando la differenza tra le due radici è pari a 1. In questo caso è necessario calcolare quindi le due soluzioni contenenti all’interno la lettera k. Il delta è stato già calcolato nell’esercizio precedente ed era pari a 2k+3, per cui è inutile ricalcolarlo di nuovo.
Nella terza parte viene indirettamente chiesto di utilizzare la formula del prodotto. Per questa ragione sfruttiamo p=c/a dopo una piccola trasformazione algebrica.
L’ultima parte di questo esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado ci chiede quanto vale la lettera k quando una soluzione è doppia dell’altra. Quindi possiamo scrivere:
L’equazione esiste? La discussione
Si parla spesso di fare la discussione delle equazioni letterali, ma come funziona? Un metodo molto semplice consiste nel porci una semplice domanda: quando esiste l’equazione di secondo grado? Ci ricordiamo che la formula canonica è:
ax2+bx+c=0
Cosa succede quando il coefficiente a=0? Che l’equazione di secondo grado non è più tale, ma si trasforma in un’equazione di primo grado. Quando al primo coefficiente c’è anche un parametro, cioè una lettera oltre alla x, è necessario imporre una condizione di esistenza che presuppone una piccola discussione. Vediamo un esempio pratico.
(k+9)x2+(3k+1)x+2=0
L’equazione di II grado degenera in un’equazione di I grado quando il termine al quadrato si annulla. Questo vuol dire che il suo coefficiente deve essere zero. Cioè deve valere:
k+9=0 → k=-9
Quando k=-9, l’equazione diventa: (-9+9)x2+[3(-9)+1]x+2=0 → -26x+2=0 → x=13
Questo vuol dire che per k=-9 le soluzioni sono x=13.
Quando invece il primo termine non si annulla, vuol dire che ho k diverso da -9. In questo caso ho effettivamente un’equazione di secondo grado, per cui posso risolvere normalmente con il delta.