Distanza tra due punti – la formula completa e semplificata con degli esercizi svolti

La distanza tra due punti A e B non √® altro che il segmento AB che li congiunge. Su alcuni testi viene definita come la distanza pi√Ļ breve per passare da un punto all’altro. In questa lezione vedremo quindi che cos’√® e come si calcola la distanza tra due punti avendone a disposizione ascisse e ordinate.

La formula generale

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Quella che ti abbiamo appena mostrato è la formula della distanza tra due punti generici A(xA,yA) B(xB, yB)che si può applicare in qualsiasi circostanza e con qualsiasi tipo di punti. Tuttavia ci sono alcuni casi che ci permettono di semplificare tantissimo i calcoli.

Distanza tra due punti aventi stessa ascissa

Immaginiamo di avere i due punti che hanno stessa ascissa (e quindi sono disposti lungo una retta verticale). La formula per il calcolo della della distanza tra due punti è:

distanza-tra-2-punti-orizzontale

E’ sufficiente cio√® fare la differenza tra le ordinate. Non √® importante quale io consideri A e quale B. Il risultato sar√† lo stesso.

Distanza tra due punti aventi stessa ordinata

Consideriamo ora i due punti

A(xA;yA) e B(xB;yB) dove le ordinate sono tra loro uguali.

La formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ordinata è:

AB=xB-xA

E’ sufficiente cio√® fare la differenza tra le ascisse. Anche in questo caso non importa quale punto sia nella formula A e quale B, il risultato sar√† lo stesso.

Dimostrazione della formula generale

Proviamo a vedere un caso concreto per la dimostrazione. Abbiamo i punti A(-5;3) e B(1;1). Il segmento AB, che nel disegno è indicato con la lettera c minuscola, è la distanza tra due punti che dobbiamo calcolare. Si può notare, tracciando ascisse e ordinate dei due punti in modo tratteggiato che si genera un triangolo rettangolo di lati a, b, c. Dove:

  • il lato a si ottiene attraverso la sottrazione¬†yA-yB
  • il lato b si ottiene attraverso la sottrazione¬†xA-xB
  • il lato c √® l’ipotenusa del triangolo rettangolo (e anche la distanza tra due punti)

distanza-tra-due-punti

Possiamo quindi calcolare il terzo lato utilizzando la formula del teorema di Pitagora.

distanza-tra-due-punti-formula

La formula per la distanza tra due punti è particolarmente semplice. Basta fissare i due punti dati dalla traccia come A e B e sostituire le rispettive coordinate nella formula vista. SI otterrà un numero, non meravigliamoci se sotto radice, che sarà la lunghezza del segmento.

Distanza tra due punti, esercizi svolti

Esercizio 1

Calcoliamo la distanza tra due punti nel piano cartesiano della seguente coppia: A(1;2) e B(1;-3/2)

Poiché i due punti hanno la stessa ascissa (x=1), allora posso applicare la formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ascissa.

esempio-distanza-2-punti

Esercizio 2:

Proviamo ora a calcolare la distanza tra i due punti nel piano cartesiano:

E(-1;+1)   F(+2:+3)

Non avendo alcuna coordinata uguale, devo applicare la generica formula per il calcolare la distanza tra due punti. Per cui posso scrivere:

esempio-distanza-due-punti

Esercizi da risolvere

Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti:

A(-1;+2)  B(-1;+4)

C(+5;+4)¬† D(‚ąö2;+4)

E(+1/2;+1)  F(+2;+3/2)

Si tratta di un argomento estremamente semplice per cui non è necessario dilungarsi con tanti esercizi. Si può passare direttamente al calcolo del punto medio tra due punti.

Per dubbi o chiarimenti restiamo sempre a disposizione, puoi scriverci direttamente al link contattaci.

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