Fascio di rette proprio e improprio con esercizi svolti

Il fascio di rette è un insieme di rette tra loro parallele o incidenti. In questa lezione, oltre alle definizioni preliminari, vedremo anche una spiegazione completa su come riconoscerle e su come risolvere gli esercizi con degli esempi svolti. Vedremo ad esempio come trovare il fascio di rette per un punto o come trovare il centro del fascio.

Per affrontare questo argomento è necessario che alcuni concetti studiati nel programma di geometria analitica siano già ben noti. Nelle precedenti lezioni abbiamo parlato delle formule delle rette parallele e perpendicolari. Si tratta di una conoscenza preliminare importante perché per parlare di fascio di rette propri e impropri bisogna sapere almeno cosa sono due rette parallele.

Ma prima è necessario dare la definizione di punto proprio e punto improprio.

Premessa per distinguere il fascio proprio e improprio

Il punto proprio non √® altro che il punto geometrico a cui siamo stati abituati sin dalla geometria elementare, per cui non ci dilunghiamo nella sua spiegazione. Il punto improprio per definizione √® invece il punto che va all’infinito. Non lo vediamo sulla carte perch√© si trova in una posizione lontanissima, irraggiungibile. Le rette parallele le abbiamo definite come rette che non si incontrano mai. In realt√† nei programmi universitari di disegno, si dice che esse in realt√† si incontrano¬†nel punto improprio. Per cui riepilogando:

  • il fascio di rette proprio ‚Üí √® un insieme di rette che hanno un unico punto in comune.
  • il fascio di rette improprio ‚Üí √® un insieme di rette parallele.

Il fascio di rette proprio

Il fascio proprio di rette per definizione è un insieme di rette che si intersecano in un unico punto proprio.

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Fascio di rette proprio

Il punto in comune a tutte le rette C si chiama Centro del Fascio. Il fascio di rette proprio nel piano cartesiano si studia ricordando la formula di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare dato.

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Retta passante per un punto

Infatti tutte le rette del fascio proprio passano per un punto ( il centro del fascio) e di variabile hanno solo l’inclinazione, che in geometria analitica si rappresenta con il coefficiente angolare m.

Esiste una diversa formula per il fascio proprio, che si basa sulle rette generatrici:

(ax+by+c)+k(a’x+b’y+c)=0.

Si tratta di una combinazione lineare delle rette generatrici e per trovare il centro basta mettere a sistema le rette delle equazioni del fascio proprio.

Il fascio di rette improprio

Per definizione il fascio di rette improprio √® l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta data.

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Fascio di rette improprio

Il coefficiente angolare m si suppone fisso, dato che tutte le rette del fascio improprio hanno la stessa inclinazione. Il¬†termine noto q dell’equazione della retta deve necessariamente variare. L’equazione di un fascio di rette improprio √® quindi:

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Equazione del fascio di rette improprio

Una volta capito che cos’√® un fascio improprio o un fascio proprio di rette e quali sono le equazioni che regolano le figure studiate, la parte teorica √® praticamente finita.¬†Vi mostriamo ora un paio di esercizi svolti piuttosto semplici…

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Fascio di rette – esercizi svolti

Esercizio 1

Dato il fascio di rette improprie con retta base r:x+3y=0, troviamo l’equazione della retta del fascio passante per P(-2,-1).

Quello che ci sta chiedendo l’esercizio √® di trovare il fascio di rette per un punto. Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta:

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Calcoliamo il coefficiente angolare della retta del fascio improprio

A questo punto posso scrivere gi√† l’equazione del fascio improprio di rette. m infatti √® fisso mentre q possiamo lasciarlo come lettera, dato che √® variabile:

equazione-fascio-di-rette-improprio

Equazione del fascio improprio di rette

Imponiamo ora l’appartenenza del punto¬†P(-2:-1) al fascio improprio. Cio√® sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione del fascio.
esercizi-svolti-fasci-di-rette-1

Esercizio 2

Date le rette di equazione r:x+y+1=0 e s:2x-y=0, queste generano un fascio proprio. Determinare il centro del fascio.
fascio-proprio-di-rette-esercizi-svolti

 Esercizi da svolgere

Per assicurarvi di aver capito cosa sono i fasci di rette e come si svolgono gli esercizi, ecco qualche problema con cui potete esercitarvi. Restiamo come sempre a vostra disposizione attraverso il modulo contatti, per domande, informazioni o suggerimenti.

  1. Determina la retta del fascio improprio y=3x+q passante per il punto P(+1;-4)
  2. Nel fascio y=-2x+q determina a retta r che dista 4raq5 dal punto P(-2;+1)
    Suggerimento: ricordati come si calcola la distanza di un punto da una retta
  3. Determina il centro del fascio proprio di rette di equazione:
    (3k-1)x+2ky-k+5=0
    Suggerimento: cerca di “manipolare” l’equazione che ti √® stata fornita in modo da ottenere quella principale del fascio proprio con le due rette generatrici. Intersecale ed avrai il centro.
  4. Scrivi l’equazione del fascio proprio di centro C(2;4)

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